1 Ces traités sont regroupés sous le titre « Divers usages du triangle arithmétique ». On les trouve p. 54-69 de l’édition par Louis Lafuma des Œuvres complètes, Seuil, 1963. On peut penser par analogie que l’expression de Leibniz « usage de l’hexagramme dans les traités suivants » reprend une expression de Pascal lui-même.

2 Ibid., éd. Lafuma, p. 65. Cf. l’analyse de ce traité dans, Langage, visibilité, différence, Vrin, 1999, p. 23 à 44.

3 « Je suis fort éloigné de vouloir tout donner expressément ; j’aimerais mieux laisser tout à faire, puisque la chose est si aisée ; mais pour me tenir entre ces deux extrémités, j’en donnerai seulement quelques exemples », éd. Lafuma, p. 63.

4 Essai pour les coniques, dans Pascal, Œuvres complètes, II, Desclée de Brouwer, 1970, p. 231. Le volume contient aux p. 1120-1131 les notes prises par Leibniz sur les écrits de Pascal perdus, d'abord publiées et traduites par P. Costabel dans l’ouvrage collectif L’Œuvre scientifique de Pascal, PUF, 1964. Elles montrent que Pascal analysait toutes les combinaisons des couples de côtés de l’hexagramme. Pascal examinait d’abord l’hexagramme mystique, puis l’hexagramme conique.

5 Lettre de Desargues à Mersenne du 4 avril 1638, publiée dans R. Taton, L’œuvre mathématique de Desargues, PUF, p. 80-86. Et, plus loin, à propos de deux ordonnées sur une conique : « ces deux espèces de lignes s’énoncent en mêmes paroles en un seul discours ».

6 Éd. Lafuma, p. 40.

7 C’est ainsi que commence, par exemple, le traité des Coniques d’Apollonius.

8 Texte envoyé à Huygens le 5 octobre 1637. Cf. AT, I, 435, et Œuvres philosophiques I, Garnier, 1963, p. 802. La règle unique de toutes ces correspondances est définie au début du texte par Descartes : « L’invention de tous ces engins n’est fondée que sur un seul principe, qui est que la même force qui peut lever un poids, par exemple de cent livres à la hauteur de deux pieds, en peut aussi lever un de 200 livres à la hauteur d’un pied […]. Et ce principe ne peut manquer d’être reçu, si on considère que l’effet doit être toujours proportionné à l’action qui est nécessaire pour le produire » (AT, I, 435-436).

9 Sur ce point, on se rapportera au grand livre de Jean-Pierre Séris, Machine et Communication, Vrin, 1987.

10 Brouillon projet d'une atteinte aux événements des rencontres du cone avec un plan, Paris, 1639.

11 Suivant la relation AB.AH = AC.AG = AD.AF. Dans la terminologie de Desargues, la donnée des points A, B, C, D, F, G, H, alignés sur une même droite et vérifiant ces conditions définit un « arbre ». La droite portant les points est le « tronc », le point A est la « souche », les six autres points sont appelés « nœuds », et les six pièces AB, AH, AC, etc., sont les branches, couplées deux à deux. Cf. p. 105-106 de l’édition par René Taton du Brouillon projet, dans L’Œuvre mathématique de Desargues, PUF, 1951.

12 Cf. la théorie des rectangles gémeaux, ibid., p. 108 et suivantes. Desargues obtient des relations caractéristiques qui ne font plus intervenir le centre.

13 Ibid., p. 115.

14 Exemple de l’une des manières universelles touchant la pratique de la perspective, sans employer aucun tiers point, de distance ou d’autre nature qui soit hors du champ de l’ouvrage, Paris, 1636.

15 Manière universelle de M. Desargues de pratiquer la perspective, Paris, Pierre Deshayes, 1649. Rappelons pour éviter toute confusion que le « sujet », dans les réflexions sur la peinture au début de l’âge classique, c’est la chose à peindre.

16 « Puis concevoir que les traits, contours et couleurs teintes ou touches, que l’œil apercevait du sujet, sont coulés (ainsi qu’il est dit) par les rayons visuels en cette table, qui la font cesser d’être transparente ; et qu’ensuite l’œil, au lieu de voir ces traits, contours et couleurs teintes ou touches en la surface du sujet, les voit en cette table, à savoir chaque point, un à un, en la même place au droit de laquelle il voyait le sujet. Et pour le mieux confirmer en cette connaissance, on peut au rebours concevoir que cette table en après devient encore transparente et que ces traits, contours et couleurs teintes ou touches sont retournés en coulant encore au rebours chacun en leur place de la surface du sujet, et le tout en telle façon que soit qu’ils se rencontrent en la surface du sujet, soit qu’ils se retrouvent en la surface du sujet, soit qu’ils se trouvent en cette table, l’œil les voit en chacun de ces endroits toujours sous les mêmes rayons visuels, arrangés en une même ordonnance et sous un même rayonnement de la vue ; et qu’il en reçoit la même sensation visuelle d’un lieu que de l’autre ; et que par ce moyen il lui est indifférent lequel des deux il voit, ou le sujet en sa place, ou ces traits et touches teintes ou couleurs ainsi coulés en cette table. » (ibid., p. 46)

17 Brouillon projet d’exemple d’une manière universelle du SGDL touchant la pratique du trait à preuves pour la coupe des pierres, etc., Paris, 1640. Ce texte, écrit peu après le premier Brouillon projet, reprend la méthode de perspective dans le cadre plus général de l’ensemble des techniques arguésiennes : à propos de la taille des pierres, la fabrication des cadrans solaires, etc.

18 Même si Desargues dans ce texte émet à l’égard de ce dispositif pratique de sérieuses réserves. Il écrit ainsi : « outre que ces compas sont communément petits, les ouvriers n’en savent pas communément l’usage ». L’avantage des échelles de Desargues est de montrer la conformité et l’unité de méthode entre la réduction par géométral « au moyen de l’échelle, petit pied, grille ou treillis géométral », et de la réduction en perspective « au moyen de l’échelle, petit pied, grille ou treillis perspectif ».

19 Abraham Bosse, dans l’ouvrage cité, oppose les deux modes de représentation par les opérations qu’elles imposent au regard. Le géométral ne donne à voir la chose qu’au moyen de trois représentations différentes (celles des trois faces de l’objet) qu’il faut placer ensemble au bon endroit pour « concevoir l’idée de la forme du sujet ». La place de l’œil est indifférente, mais non la place des images les unes par rapport aux autres. La représentation en perspective, en revanche, donne seule la chose, mais elle impose sa place au regard.

20 Pascal, Les Pensées, XIX, « Loi figurative », 245 à 276 dans la classification de Louis Lafuma, Seuil, 1964.

21 Ibid., 249.

22 Pascal cite Augustin : « Qui veut donner le sens de l’Écriture et ne le prend point de l’Écriture est ennemi de l’Écriture » (Ibid., 251). Et, plus loin : « il n’est pas permis d’attribuer à l’Écriture des sens qu’elle ne nous a pas révélé qu’elle a » (272).

23 Ibid., 276.

24 Ibid., 21 : « la perspective l’assigne dans l’art de la peinture, mais dans la vérité et la morale, qui l’assignera ? »

25 Ibid., 225.

26 Ibid., 189.

27 Dans l’opuscule De l’esprit géométrique, entre le fini et l’infini, ou l’infiniment grand et l’infiniment petit, Pascal établit une correspondance projective, qui implique précisément cette distance constitutive de tout point de vue, entre le centre du regard, l’image et la chose. Hors de ce système d’écarts, le rapport est perdu. Cf. éd. Lafuma, p. 353.

28 « Chaque nombre, de quelque ordre que ce soit, est composé d’autant de nombres qu’il y a d’ordres depuis le sien, chacun desquels nombres est de chacun de ces ordres. Ainsi un triangulo-triangulaire est composé d’un autre triangulo-triangulaire, d’un pyramidal, d’un triangulaire, d’un naturel et d’une unité ».

29 Il s’agit de la proposition III-10 des Éléments, qui s’appuie explicitement sur le porisme de la proposition III-1 et la proposition III-5.

30 Éd. Lafuma, p. 356.

31 Ibid., p. 358. C’est moi qui souligne.

32 Ibid., p. 357.

33 Traité des ordres numériques, éd. Lafuma, p. 65.

34 Publié à la suite de l’Art de persuader dans l’édition Lafuma, p. 359.