1Maintenant que voilà décrits les travaux de Mersenne et de Frenicle en analyse combinatoire, il nous reste à en évaluer la portée. Pour mieux en marquer la place dans l’histoire de cette discipline, nous allons évoquer rapidement, d’une part quelques pages d’un mathématicien contemporain de nos deux auteurs, Pierre Hérigone, d’autre part l’Ars conjectandi de Jacques Bernoulli.

1.

(a) Les points d’analyse combinatoire traités par Hérigone

2Pierre Hérigone traite de quelques points d’analyse combinatoire dans le tome second de son Cours mathématique, paru en 1634, au chapitre XV de l’Arithmétique practique1 ; ce chapitre intitulé :

3« De Variis conivnctionibus & transpositionibus. De diuerses conionctions & transpositions »

4se retrouve à l’identique dans la réédition de 1644.

5Hérigone énonce la règle donnant le nombre de Permutations de n choses2, et l’illustre par deux exemples :

6P(3) = 6

7P (8) = 40 320

8Pour la « representation de six transpositions du premier exemple », il prend le même mot qu’avait utilisé Clavius pour cette même fin : AVE, et ce n’est sans doute pas par hasard3.

9Quant aux Combinaisons, il en formule la règle générale avec beaucoup de fermeté4 :

« Estant donnée la multitude des choses, trouuer en combien de manieres differentes se pourra prendre d’icelles une conjonction de tant de choses qu’on voudra.
Si on fait deux progressions par la soustraction de l’unité des deux nombres, donnez, qui ayent chacun autant de termes qu’il y aura d’unitez au nombre donné, & le nombre qui s’engendrera par la multiplication des nombres de la progression du plus grand nombre soit divisé par le produit qui viendra de la multiplication des nombres de la progression du moindre nombre, le quotient sera le requis5. »

10Mais Hérigone ne pousse pas très avant ses investigations ; il calcule :

C(10, 2) = 45

C(10, 3) = 120,

11donne avec 10 lettres a, b, ..., h, i, l une « représentation de 45 coniunctions » ainsi qu’une « representation de 120 coniunctions », et expose le théorème de la progression en raison double6 sous la même forme où nous l’avons lu dans Clavius7, y compris l’ exemple des 120 manières différentes selon lesquelles « les sept Planetes se peuvent conjoindre ».

12Une remarque originale cependant, qui lui a été sans doute inspirée par la disposition des 45 et des 120 « coniunctions » qu’il avait « représentees8 ».

« Trouuer en combien de coniunctions se trouue chaque chose.
Chaque chose se trouue en toutes les coniunctions moindres d’une unité qui se peuuent faire du nombre des choses, estant diminué d’une unité : partant si le nombre des choses est 10, chaque chose se trouuera en 9 coniunctions de deux ou de huict, & en 36 coniunctions de trois ou de sept9. »

13Autrement dit, si nous considérons les Combinaisons de n objets pris p à p, un objet déterminé se trouve dans C (n − 1, p − 1) de ces Combinaisons.

14La dernière partie de la phrase précédente montre par ailleurs qu’Hérigone connaissait la relation : C(n, p) = C(n, n − p).

15Bref, malgré leur briéveté, ces quelques pages d’Hérigone sont loin d’être négligeables10 ; mais, outre qu’elles ne semblent avoir eu aucune influence sur Mersenne11, elles cèdent de beaucoup aux recherches de Mersenne et de Frenicle dont le cadre et le contenu sont sans conteste bien plus vastes.

(b) Les résultats atteints par Mersenne et Frenicle

16Ainsi qu’a achevé de nous en convaincre cette comparaison, ces recherches ont étendu la connaissance qu’on avait des combinaisons au xvi^e et au début du xvii^e siècle. Mais la question subsiste de savoir s’il n’y a là qu’une simple extension, un prolongement des résultats antérieurement acquis.

17Dans le cas de Mersenne, cette interrogation prend une forme plus précise : y a-t-il simple continuité entre les deux périodes que nous avons distinguées dans son œuvre ? À première vue, et si l’on n’a d’yeux que pour le détail des textes, on penchera pour la continuité. Ses préoccupations ne changent guère, ni son ton, ni son style ; ses émerveillements comme ses digressions restent tout aussi ingénus. Aussi pourrait-on croire qu’ultérieurement à La Vérité des sciences, sa tâche se résuma à calculer plus et mieux, à donner des tables plus longues ou à en dresser de nouvelles, bref à conjoindre des recettes inédites à des recettes déjà connues.

18Aussi bien pour lui que pour Frenicle, l’absence de symboles, et partant de formules, vient renforcer une telle impression. Cette absence rend très difficile l’administration de preuves. S’agit-il des Permutations, Frenicle n’est pas loin de formuler un raisonnement par récurrence : que les problèmes se compliquent un peu, la preuve est rapidement court-circuitée par des exemples ou des calculs sur des cas particuliers. D’où le sentiment qu’on se trouve en présence, non de vraies mathématiques, mais de comptabilités adroites.

19Pourtant, il ne suffisait pas de compter. Encore fallait-il savoir ce qu’il y avait à compter. Cela n’allait pas de soi. Mersenne s’égara tout d’abord lorsqu’il voulut mettre en rapport des dispositions ordonnées et des dispositions non ordonnées ; si au xvi^e siècle, on trouve d’un côté des textes sur les Arrangements, de l’autre des textes sur les Combinaisons, on ne rencontre pas associées ces deux notions ; mise en place fort délicate enfin que celle des Combinaisons avec répétitions dont nous avons vu à quels malentendus elle devait échapper. Pour embrasser simultanément les différentes sortes de dispositions, et ne serait-ce que pour en envisager l’existence, il fallait se déprendre de vues particulières, et se donner comme fil directeur une conception plus abstraite de l’acte de combiner. Il convenait, par delà les recettes déjà acquises, de s’interroger sur les problèmes auxquels renvoyaient isolément ces recettes, et de discerner comment ces problèmes s’appelaient les uns les autres.

20Bref, on ne pouvait ajouter de nouvelles réponses à des interrogations comme : « Combien y a-t-il de dispositions de telle sorte ? » sans apprendre à poser les bonnes questions.

21Nous avons vérifié à quel point, ainsi que nous l’avions laissé prévoir, Mersenne a été guidé, il faudrait presque dire porté, dans cet apprentissage, par sa patience à œuvrer en faveur des musiciens et des langues artificielles les plus commodes. C’était là une bonne école ; Mersenne prospecta le plus grand nombre de « variétés » possibles, et chercha à les ordonner. Dans cette mise en ordre, dont Frenicle accusa encore mieux les résultats, se marque un progrès plus sensible que la pure extension de procédés de calcul.

2.

(a) Parallèle entre les classifications des « combinaisons » de Frenicle et de Jacques Bernoulli

22Si nous nous reportons maintenant au début du xviii^e siècle, nous sommes surpris de constater que le « Traité des combinaisons » introduit par Rémond de Montmort dans la seconde édition de son Essay d’ Analyse sur les jeux de hazard12, est d’une conception moins ferme, alors même que son auteur allait plus loin dans l’usage de l’analyse combinatoire que l’Abrégé des combinaisons de Frenicle. Une telle comparaison entre ces deux ouvrages n’ayant pas ici sa place, nous nous contenterons de mettre en relief un autre fait : le plan suivi par Jacques Bernoulli dans la seconde partie de l’Ars conjectandi est analogue à la division des combinaisons annoncée par Frenicle au début de l’Abrégé.

« Totam Tractationem ad duo summa capita referimus, quorum unum Permutationum, alterum Combinationum doctrinam persequitur ; cui accedit tertium, quod utrasque mixtim contemplatur13. »

23Bernoulli décrit et subdivise ces trois rubriques tout comme l’avaient fait Mersenne et Frenicle :

24[Permutations]

25[Combinaisons] pour lesquelles on ne tient pas compte de l’ordre dans lequel sont disposées les choses14, et qui prennent deux formes, selon qu’on admet ou non la répétition des choses dans chaque Combinaison15.

26[Arrangements] : pour lesquels on a égard à l’ ordre16, et que Bernoulli présente comme résultant d’un point de vue mixte, qui mêle la considération des Permutations et des Combinaisons17, tout comme Frenicle avait parlé de « combinaison mêlée ». Ici encore, le fait qu’on admette ou non que les choses puissent se répéter introduit une nouvelle subdivision18.

(b) Difficultés surmontées et mises à jour d’un réseau simple de relations entre des notions et entre des règles de calcul

27Par ce témoignage historique précis, nous voulions souligner plus nettement le fait que la classification élaborée par Mersenne et Frenicle est celle-là même qui était appelée à devenir classique. Si cette classification se réduisait à une simple suite de définitions, elle ne serait bien sûr qu’un schéma sans substance ; elle reviendrait à énumérer les différentes règles qu’on peut se donner lorsqu’on veut former des assemblages avec un nombre fini de caractères :

• on tient compte ou non de l’ordre des caractères dans les assemblages,

• on admet ou non les répétitions d’un même caractère dans les assemblages.

28Une telle classification n’a évidemment de prix que par les procédés de calculs qu’elle recouvre.

29Or il nous a été donné de constater que, non seulement, Mersenne et Frenicle accédèrent à la connaissance des plus fondamentaux de ces procédés, mais qu’ils cherchèrent à élucider les rapports qui liaient entre eux ces derniers. Pour mettre en évidence de tels rapports, Mersenne prit appui sur ses tables de nombres : celles-ci cessent d’être des relevés de comptable, lorsque, juxtaposées et parcourues en des sens différents, elles rendent sensibles des solidarités que le langage courant arrive mal à exprimer ; elles jouent, avons-nous dit, le rôle de schèmes opératoires.

30Ainsi Mersenne arriva-t-il, en particulier, au terme de détours d’une certaine subtilité, à passer des Combinaisons avec répétitions aux Arrangements avec répétitions. Frenicle qui, un moment, avait cru à tort pouvoir assurer ce même passage de manière simple, établit en revanche, faisant preuve de plus d’acuité que Mersenne, la relation simple qui rattache les Combinaisons avec répétitions aux Combinaisons simples.

31Il est assez notable par ailleurs que, dans les quatre exposés d’ensemble qu’il nous a laissés, Mersenne ait varié très nettement l’ordre dans lequel il a disposé ses matières : ainsi des Harmonicorum libri aux Reflexiones physico-mathematicae, l’ordre de l’exposé va jusqu’à s’inverser complètement. Scrupule d’auteur attentif à ne pas se répéter et à différer sa présentation dans chacun de ses ouvrages ? Sans doute ; mais il y a dans ces variantes plus que des artifices de rhétorique : elles témoignent par elles-mêmes qu’il n’y a pas, en l’occurrence, d’ordre d’exposé privilégié. Et peut-être Mersenne a-t-il senti qu’il convenait avant tout de marquer, par-delà chaque exposition particulière, les relations qu’ont entre elles les diverses sortes de combinaisons.

32C’était là en effet un point essentiel. Mersenne et Frenicle ont bien mis à jour le réseau simple de connexions qui lient les notions élémentaires de l’analyse combinatoire. Prises dans ce réseau, les règles de calcul (même si leur formulation laisse à désirer) ne sont plus des recettes isolées et limitées, mais des méthodes bien coordonnées. Mersenne et Frenicle ne se sont pas bornés à ajouter leurs pierres à l’apport de leurs prédécesseurs : en étendant la base de la construction, ils en ont fait apparaître l’unité.