1Ce chapitre porte sur différents aspects épistémologiques liés à la mesure en mathématiques et en physique, ainsi que leurs implications sur le plan didactique. Nous présentons une réflexion qui s’appuie sur plusieurs recherches en synthétisant les idées développées dans ces travaux (cf. notamment Chesnais, Munier, 2016) et en les illustrant par des exemples issus de diverses études1. Dans un premier temps, nous présentons des éléments d’épistémologie de la mesure dans ces deux disciplines – en particulier en géométrie pour les mathématiques – et nous mettons en évidence des continuités et ruptures concernant le rôle de la mesure dans la construction et la validation des connaissances. Dans la seconde partie, nous présentons les implications didactiques de ces constats, notamment en pointant les difficultés des élèves à tous les niveaux de la scolarité (de l’école à l’université), ainsi que la manière dont les enjeux d’ordre épistémologique liés à la mesure sont pris en charge (ou non) dans l’enseignement primaire et secondaire. Nous étudions notamment la prise en compte de la dispersion des résultats de mesure et de la notion d’incertitude dans ces deux disciplines dans les classes. Nous nous appuyons pour illustrer nos propos sur des productions d’élèves recueillies lors de tests, ainsi que sur des analyses de manuels scolaires et de séances de classes.

1. Éléments d’épistémologie de la mesure

2L’importance de la mesure pour le scientifique est indéniable, et pour Ullmo c’est même un lieu commun que de dire que « la Science porte sur la quantité et s’exerce au moyen de la mesure » (Ullmo, 1969, p. 23). Tout processus de mesurage implique de la dispersion, c’est-à-dire que si l’on mesure N fois la même grandeur, on n’obtient pas N résultats identiques. Les incertitudes caractérisent cette dispersion. Elles peuvent être liées à des erreurs aléatoires (quelle que soit la précision du mesurage, la répétition de la mesure d’une grandeur donnera des résultats qui se répartissent autour d’une valeur moyenne) et à des erreurs systématiques de mesurage. Ces incertitudes peuvent avoir diverses origines : l’observateur, l’instrument de mesure et la grandeur même qui fait l’objet du mesurage. De ce fait, comme le souligne Perdijon « il ne suffit donc pas d’un nombre pour exprimer la mesure, il en faut deux : l’estimation la plus probable de la grandeur et l’amplitude de l’intervalle à l’intérieur duquel elle a de grandes chances de se trouver, ce qu’on appelle un intervalle de confiance » (Perdijon, 2012).

1.1. Le rôle de la mesure en physique

3Dans la pratique scientifique comme dans l’enseignement, la mesure et l’instrumentation jouent un rôle essentiel dans le cadre des démarches expérimentales, pour définir clairement le phénomène étudié, construire des faits scientifiques. Les activités faisant appel à la mesure et à l’instrumentation peuvent avoir pour fonction, entre autres, de tester une hypothèse, déterminer des paramètres ou des constantes physiques, établir une loi, explorer le champ de validité d’un modèle…

4Les valeurs recueillies lors d’un mesurage doivent ensuite être traitées pour donner des informations sur le phénomène ou l’objet étudié, le traitement de données étant en fin de compte « la conversion de données en conclusion sur le monde physique » (Maruani, 1996), ce qui nécessite de prendre en compte les incertitudes. Par exemple, si on mesure l’intensité et la tension dans un circuit résistif, on obtient des points qui ne sont pas parfaitement alignés (voir figure 1).

5Dans le premier cas de la figure 1, la loi U=RI (loi d’Ohm) est en général considérée comme un modèle « raisonnable » de la relation qui relie les grandeurs intensité et tension dans ce circuit. Le second cas amène à s’interroger sur la valeur de l’intensité à partir de laquelle cette loi ne peut plus être considérée comme un bon modèle de cette relation, ce qui revient à explorer les limites du modèle. Dans les deux cas on ne peut pas conclure sans une estimation des incertitudes et de l’intervalle de confiance associé. En outre, au-delà de l’interprétation des résultats d’une expérience, établir des lois physiques suppose de prendre en compte la question de la généralisation : les expériences doivent être répétées, notamment par d’autres équipes de recherche, et il est nécessaire d’explorer les limites des modèles et des lois, ce qui nécessite là encore la prise en compte des incertitudes.

Figure 1 : relation U=f (I) dans un circuit résistif

1.2. Le rôle de la mesure en mathématiques

6Si historiquement les mathématiques se sont construites à partir de problématiques en lien avec la mesure des grandeurs, les questions de dispersion et d’incertitudes de mesure ne constituent plus aujourd’hui des objets d’étude de cette discipline. Néanmoins, ces questions se posent dans l’enseignement, essentiellement dans trois domaines : « géométrie », « grandeurs et mesures » et « statistiques ». Concernant le domaine grandeurs et mesures, les questions d’ordre épistémologique s’apparentent à ce qui a été discuté ci-dessus à propos de la physique, comme le pointent notamment Brousseau et Brousseau (1991, p. 80) en termes de reproductibilité et de généralisation d’un résultat, et nous n’y revenons pas. Concernant les statistiques, les élèves sont amenés à manipuler des résultats de mesure, mais les objectifs de l’enseignement ne sont pas spécifiques de la question des mesures (notons toutefois que les statistiques fournissent des outils, par exemple la notion d’intervalle de confiance, pour aborder ces sujets). Dans le domaine de la géométrie enfin, la mesure de certaines grandeurs comme les longueurs, les aires, les angles ou les volumes joue un rôle dans l’enseignement et l’apprentissage. À ce titre, son statut est complexe car lié aux différents modes de validation des connaissances qui ont cours dans les scolarités primaire et secondaire. De ce fait les questions liées à la mesure sont susceptibles d’être à la source de difficultés d’apprentissage et d’enseignement. C’est pourquoi nous nous centrons dans ce chapitre, pour ce qui est des mathématiques, sur le rôle de la mesure en géométrie.

7Dans les paradigmes des géométries axiomatique naturelle (géométrie 2) et axiomatique formaliste (géométrie 3)2 au sens de Houdement et Kuzniak (2000), notamment dans la géométrie euclidienne, les objets sont les figures (idéales) sans existence matérielle. Les mesures sont des valeurs théoriques (non atteignables par le « mesurage »), exactes, qui sont soit des données, soit obtenues par un calcul et/ou en appliquant des théorèmes ; par exemple, la valeur de la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1cm est √2 cm. Les dessins que l’on produit parfois ne sont que des schémas des figures (Laborde, Capponi, 1994), et les mesures réalisées sur ces dessins n’ont qu’un rôle heuristique (elles permettent par exemple d’émettre des conjectures). Elles peuvent aussi permettre de vérifier la vraisemblance d’un résultat. Toutefois, la production d’un dessin mettant clairement en évidence un contre-exemple - c’est-à-dire de manière suffisamment nette pour ne pas pouvoir être mis en doute du fait d’incertitudes - peut avoir valeur de preuve, au moins dans certains contextes. L’activité de mesurage n’a donc pas de sens dans ces paradigmes et l’évocation des instruments de la géométrie n’est que prétexte à raisonnement (en particulier sur la constructibilité des figures à la règle et au compas). Dans la géométrie 1 (Houdement, Kuzniak, 2000) au contraire, les objets sur lesquels porte le travail sont les dessins. Le maniement des instruments de géométrie fait partie des connaissances qui y ont cours. La mesure y joue un rôle de validation : par exemple, on affirme qu’un quadrilatère est un carré après avoir vérifié à la règle graduée que ses côtés ont même longueur et avec une équerre que les angles sont droits ; notons que cela suppose d’accepter une certaine marge d’« erreur » (par exemple, le mesurage à 0,5 mm près pour les longueurs, ou à un degré près pour les angles). Le mesurage et les questions d’approximations qui y sont attachées y sont pris en compte (Houdement, 2007).

8Le rôle de la mesure dans chacun des deux paradigmes est donc différent : la mesure perd en géométrie 2 le rôle de validation des propriétés d’une figure – ou des théorèmes – qu’elle a en géométrie 1. Ainsi, Houdement (2007) considère que la géométrie 1 « ressemble fort à une approche physique des phénomènes […] » (p. 77). Cependant, le travail en géométrie 2 prend appui sur une pratique de la géométrie 1 : c’est ainsi souvent un travail sur des dessins incluant des mesures qui va permettre d’établir des conjectures qui sont ensuite validées (ou invalidées) par la démonstration.

1.3. Statut de la mesure dans les deux disciplines

9Ces éléments d’épistémologie de la mesure montrent qu’il existe des différences fondamentales entre mathématiques et physique liées à l’épistémologie propre de ces disciplines, notamment concernant le rôle de la mesure dans les modes d’élaboration des connaissances. En particulier, le rôle de la mesure et des incertitudes dans ce processus varie entre ces deux disciplines, et au sein même de la géométrie. Dans les différents cas, on peut être amené à mesurer mais la mesure n’a pas le même statut, et on peut penser que cela peut être une source de difficultés pour les élèves et les enseignants.

10Une différence essentielle entre les deux disciplines et entre les deux types de géométrie consiste en l’existence ou non d’une valeur « vraie » exacte ? et la possibilité ou non de déterminer cette valeur3 : par exemple ce qui est possible dans le cadre de la géométrie 2 en mathématiques ne l’est pas en physique4 puisqu’une telle valeur n’est pas accessible par la mesure du fait des incertitudes.

11De plus, le statut des connaissances diffère dans les deux disciplines. En mathématiques, dans le cadre de la géométrie euclidienne telle qu’elle est travaillée au collège, un théorème a un statut de vérité dans le système d’axiomes qui définit cette géométrie. En physique, à ce niveau, les élèves établissent des lois modélisant des relations entre grandeurs mais ces lois ne sont que des modèles de ces relations, et elles ont en particulier des limites de validité (cf. exemple de la loi d’Ohm cité précédemment).

1.4. Travailler le sens de la mesure : un enjeu didactique de l’école à l’université

12Dès les premières activités de mesurage à l’école élémentaire et tout au long de la scolarité obligatoire, les élèves sont confrontés à la dispersion dès lors qu’ils sont amenés à mesurer des grandeurs. Par exemple, en cycle 2, si plusieurs élèves mesurent la température de la classe, les valeurs obtenues se répartissent généralement dans un intervalle d’amplitude deux à trois degrés. Des phénomènes similaires de dispersion peuvent être observés tout au long de l’école élémentaire lors de mesures de masses, de contenances, de durées etc. De même, en classe de sixième, la mesure des angles au rapporteur entraine une incertitude systématique d’un degré environ. De ce fait les questions d’incertitude doivent être prises en charge dès l’école et lors de toute activité de mesurage, ne serait-ce que parce qu’elles se posent d’elles-mêmes.

13De plus l’importance d’une réflexion épistémologique sur le rôle de la mesure pour aider les élèves à mieux comprendre la nature de l’activité scientifique a été pointée par plusieurs chercheurs (Séré et al., 2001 ; Buffler et al., 2009 ; Munier, Passelaigue, 2012). Plus particulièrement, cela peut permettre de travailler avec les élèves la notion de modèle, ce qui est un enjeu fondamental de l’enseignement des sciences. Cette réflexion d’ordre épistémologique est aussi essentielle lors des phases de généralisation. Même si le contexte de la classe oblige à se limiter à un nombre restreint d’expériences, la question de la généralisation doit tout de même être prise en compte (Viennot, 2013), par exemple en confrontant les résultats de mesure obtenus par différents groupes, en étudiant si une conclusion reste valide dans d’autre conditions, ou encore en confrontant les résultats obtenus au savoir établi. Cela nécessite là encore de prendre en compte explicitement les incertitudes pour que les élèves puissent comprendre les choix d’institutionnalisation réalisés par l’enseignant sans que cela « dévalorise » leurs investigations.

14Enfin, en ce qui concerne plus spécifiquement les mathématiques, et notamment l’objectif d’initiation à la géométrie 2 au collège (incluant le changement de rôle attribué à la géométrie 1 et en particulier aux mesures), le travail de Houdement (2007) suggère qu’en l’absence d’un travail explicite sur les incertitudes, des confusions persistent chez les élèves (y compris chez des candidats au concours de professeur des écoles) quant à la nature exacte ou approchée de certaines mesures, compromettant la validité des démonstrations produites.

15Ces considérations, associées aux éléments d’épistémologie présentés dans la partie précédente, pointent la nécessité d’un travail explicite en classe, au primaire comme au secondaire, sur le sens de la mesure et son rôle, tant pour la compréhension de la notion de modèle en physique que pour l’entrée dans la géométrie 2 et sa bonne articulation avec les connaissances de géométrie 1. Un travail sur le sens de la mesure semble donc essentiel dès l’école primaire car « y renoncer complètement conduit à s’abstenir de traiter correctement aussi bien les problèmes pratiques que les notions théoriques » (Brousseau et Brousseau, 1991, p. 83), même si, comme ces auteurs le soulignent, il serait sans doute prématuré d’enseigner l’ensemble des notions liées aux mesures et aux incertitudes dès l’école élémentaire ; nous y reviendrons plus loin.

16Notons que les concepteurs des programmes semblent conscients de ces enjeux puisque la mesure et les incertitudes occupent une place croissante dans les instructions officielles de la scolarité obligatoire et du lycée (pour plus de détails voir Munier et al., 2014 ; Munier, 2013) : ainsi, dans le socle commun, il est spécifié que les élèves doivent être capables « d’effectuer des mesures à l’aide d’instruments, en prenant en compte l’incertitude liée au mesurage » ; les élèves doivent notamment comprendre qu’à une mesure est associée une incertitude ainsi que la nature et la validité d’un résultat statistique (MEN, 2006). Notons que les documents d’accompagnement des programmes de l’école élémentaire de 2002 préconisaient déjà de mener « une réflexion sur la précision des mesures […] à l’occasion de chaque activité » (MEN, 2002, p. 35). En mathématiques comme en sciences physiques les programmes de lycée sont aussi très ambitieux sur les questions liées à la mesure et aux incertitudes, comme en attestent par exemple les extraits suivants du programme de physique en 1^re S (MEN, 2011) : les élèves doivent apprendre à « Identifier les différentes sources d’erreur (de limites à la précision) lors d’une mesure », ou encore à « Exprimer le résultat d’une opération de mesure par une valeur issue éventuellement d’une moyenne, et une incertitude de mesure associée à un niveau de confiance ». La parution du document ressource « Mesure et incertitudes », mis en ligne par le ministère pour accompagner la mise en œuvre des nouvelles instructions par les enseignants de mathématiques et de sciences physiques et chimiques, atteste de l’importance accordée à cette question par l’institution (MEN, 2012).

2. Exemples de difficultés d’élèves sur la mesure en mathématiques et en physique

17Nous présentons ci-dessous deux exemples de difficultés d’élèves liées à la mesure et aux incertitudes, identifiées à partir de tests visant à étudier les conceptions des élèves sur la mesure. Pour davantage d’exemples et/ou de détails voir Munier et al. (2013 a et b, 2014).

2.1. Tâche de l’angle droit (fin de sixième)

18Il est demandé aux élèves de construire un angle de 89°, puis, dans une question ultérieure, de dire si cet angle est droit et de le justifier. La réponse attendue en fin de 6ème (compte tenu des programmes) est que l’angle n’est pas droit car il ne mesure pas 90°. Cette réponse repose sur un raisonnement sur la mesure théorique – exacte – de l’angle et non sur la mesure résultant d’un mesurage. Le fait que la première question (la construction) s’inscrive en géométrie 1 tandis que la suivante relève de la géométrie 2 peut conduire, comme le pointent Houdement et Kuzniak (2006) ou encore Houdement (2007) à d’éventuels malentendus, mais est fréquent dans les exercices de géométrie proposés au collège. Nous l’utilisons ici précisément pour tester la capacité des élèves à passer d’un contrat à l’autre.

19Une procédure relevant de la géométrie 1, correspondant à un raisonnement sur le dessin et non sur la figure représentée par ce dessin, consiste à vérifier avec l’équerre ou le rapporteur - que cela conduise à une réponse positive ou négative. De plus, même sans utiliser d’instrument, certains élèves peuvent raisonner sur la valeur 89°, mais répondre que l’angle est droit car l’écart n’est que de un degré avec 90°, et qu’il est généralement dit lors du travail avec le rapporteur en 6^e que l’on peut accepter un tel écart, qui correspond à l’imprécision de l’instrument. Nous interprétons cela comme une confusion entre le contrat de la mesure empirique (qui s’inscrit dans la géométrie 1) et celui de la validation théorique (qui relève de la géométrie 2). La notion d’angle étant traitée des deux points de vue en 6^e, elle est particulièrement problématique. En effet, la mesure des angles en degrés et l’usage du rapporteur sont abordés en sixième (après un travail sur la grandeur et notamment des comparaisons et reproductions d’angles à l’aide de gabarits en cycle 3), ce qui suppose de travailler sur cette notion dans la géométrie 1 ; par ailleurs, le travail sur la géométrie en sixième s’inscrit aussi dans une initiation à la géométrie 2, visant par exemple à ce que les élèves produisent de premiers raisonnements sur les figures à partir des seules propriétés avérées. Le travail sur les angles en sixième doit donc s’inscrire partiellement dans l’un et l’autre paradigme.

20La quasi-totalité des élèves réussit la construction de l’angle de 89°. Concernant la seconde question, sur l’ensemble des élèves, moins des deux tiers donnent la réponse attendue. L’usage de l’équerre est encore pertinent pour valider la propriété d’angle droit pour 12%5 des élèves (qu’ils aient répondu oui ou non). Enfin, la « règle du 1° près » est employée par 6 % des élèves, avec par exemple la justification suivante : « je le sais car un angle droit est de 90° et l’angle ABC est de 89° et ce n’est qu’un degré avant. » Ces résultats montrent que le rôle de la mesure dans la validation est problématique pour certains élèves qui semblent confondre mesure théorique et mesure empirique, ce qui laisse supposer qu’ils se situent encore essentiellement dans le paradigme de la géométrie 1.

2.2. Nécessité de répéter les mesures (fin de sixième)

21Une autre difficulté est liée à la prise de conscience de la dispersion inhérente au processus de mesurage. Lorsqu’on demande à des élèves en début de collège de dire s’ils choisiraient ou non de répéter une mesure et combien de fois lors d’un recueil de données (mesure de la longueur du tableau de la classe, voir figure 26), 55 % pensent qu’une seule mesure suffit (Munier et al., 2014).

22Il s’agit ici de résultats de jeunes élèves mais la version initiale de cette question, conçue pour des élèves plus âgés (niveau lycée et université) a été utilisée par différents chercheurs (Lubben, Millar, 1996 ; Volkwyn et al., 2004 ; Maisch, 2008) qui ont montré que la majorité des apprenants ont des idées très éloignées du modèle scientifique – probabiliste – qui correspond à la première réponse : il faut réaliser plusieurs mesures, et faire ensuite un traitement statistique de ces valeurs. Le projet « Labwork in Science Education » confirme ces résultats à l’échelle européenne : entre 30 et 60 % des élèves pensent qu’avec des instruments suffisamment performants et suffisamment de soin, on peut réaliser une mesure parfaite (Séré et al., 2001).

Figure 2

23Ces exemples illustrent le fait que le rôle de la mesure, le traitement des résultats de mesure et la notion d’incertitude posent problème aux élèves dans les deux disciplines, et qu’il s’agit bien d’un problème particulièrement sensible à la transition entre l’école et le collège. Les élèves ont du mal à différencier mesure théorique et mesure empirique en mathématiques et éprouvent des difficultés à envisager le phénomène de dispersion et à gérer les incertitudes lors des mesurages. On peut penser en outre que cela risque de faire obstacle à la compréhension de la notion de modèle en sciences.

3. Prise en compte dans l’enseignement des enjeux didactiques et épistémologiques

24Dans cette dernière partie, nous nous intéressons d’une part aux manuels scolaires, considérés à la fois comme ressources utilisées par les enseignants et comme exemples de possibles dans les classes, d’autre part aux pratiques d’enseignants dans les classes, et ce pour les deux disciplines. Nous présentons les premiers résultats d’une recherche qui vise à étudier la manière dont les manuels et les enseignants prennent (ou non) en charge les enjeux épistémologiques et didactiques liés à la mesure, et notamment le travail mené sur la dispersion des résultats de mesure et la notion d’incertitude. Nous illustrons ci-dessous par quelques exemples les premiers résultats de cette étude.

3.1. Analyses de manuels scolaires

3.1.1. Exemples de manuels scolaires de sciences à l’école et au collège

25Ce premier exemple est issu d’un manuel de l’école élémentaire. Cet extrait présente des résultats de mesure qui rendent compte de l’évolution de la température de l’eau au cours du temps lors de la fusion d’un glaçon.

Figure 3 : Bordas, collection Tavernier, 2009, p. 56

26Dans ce tableau on constate que la température se stabilise exactement à 0°C, température théorique de fusion de l’eau pure dans les conditions normales de température et de pression, valeur que l’on n’obtient quasiment jamais lorsque l’on réalise cette manipulation en classe avec des élèves. Les résultats expérimentaux coïncident exactement avec le modèle, ce qui revient à ignorer la distance entre le modèle et la réalité.

27Le second exemple porte sur l’enseignement de l’électricité au collège (en classe de 4^e). Lors de l’établissement des lois sur l’intensité, plusieurs manuels proposent là encore des activités dans lesquelles « tout tombe juste », comme dans le manuel suivant :

Figure 4 : Hachette, collection Durandeau, 2007, p. 84

28De plus, certains manuels généralisent d’une façon qu’on peut pour le moins qualifier d’abusive (figures 4 et 5), sans se saisir des activités expérimentales et des mesures pour viser des enjeux d’ordre épistémologique concernant la distinction modèle/réalité notamment. Par exemple le manuel cité ci-dessus interprète ensuite le tableau comme suit, avant de conclure en généralisant à l’ensemble des circuits comportant des dérivations, alors que les mesures n’ont été réalisées que pour UNE SEULE valeur de l’intensité et dans UN SEUL circuit :

La somme des intensités des courants dans les branches dérivées est égale à l’intensité du courant dans la branche principale : I1+I2=I.
Conclusion : Loi d’additivité des intensités : dans un circuit comportant des dérivations, l’intensité du courant dans la branche principale est égale à la somme des intensités des courants dans les branches dérivées. Pour deux dipôles en dérivation I= I1+I2.

3.1.2. Exemples de manuels de mathématiques à l’école et au collège

29Dans ce premier exemple, tiré d’une leçon sur la longueur du cercle en CM2, on constate que la question des incertitudes de mesures est « évacuée » par le choix du manuel de ne faire qu’évoquer (et non réaliser par les élèves) un mesurage, ainsi que par celui de valeurs (31,4 et 10 ou 15,7 et 5) qui aboutissent au même résultat (3,14) lors du calcul du quotient, valeur qui est par ailleurs précisément celle retenue par le manuel pour la valeur de Pi. On peut en outre s’interroger sur la compréhension des deux phrases « Ce nombre 3,14 se note avec la lettre grecque π. C’est en fait une valeur approchée : π ≈ 3,14. » par les élèves, compte tenu de leur faible familiarisation avec la notion de valeur approchée.

Figure 5 : Bordas, 2012, p. 138

Figure 6 : 6^e Phare (Hachette, 2005, p. 240)

30Dans ce deuxième exemple tiré d’un manuel de sixième, on observe une prise en considération de l’imprécision de la mesure d’un angle par un rapporteur avec la mention – implicite – de la « règle du 1° près » dans la bulle précisant que les valeurs 33 et 24 sont acceptées ainsi que par la mention de « environ » dans les réponses. Notons qu’une étude plus exhaustive des manuels (Munier et al., 2013b) a montré qu’il s’agit d’un des rares manuels qui inclut une mention de l’imprécision de la mesure avec un rapporteur. Toutefois, les valeurs sont choisies de telle manière que, d’une part, la somme des valeurs correspond au résultat du mesurage évoqué de l’angle AOC ; d’autre part, le choix des valeurs alternatives est tel que leur somme reste identique à celle des deux valeurs initiales (33+24 = 32+25). Le manuel passe ainsi sous silence la contradiction qui pourrait apparaître pour les élèves si les imprécisions des deux valeurs alternatives se cumulaient au lieu de se compenser et donnaient une somme différente.

31Nous n’avons présenté ici que quelques exemples, mais une analyse plus complète de manuels scolaires de collège a mis en évidence une très faible prise en charge de ces enjeux, en physique comme en mathématiques (Munier et al., 2013b).

3.2. Exemples d’analyses de séances de classe

3.2.1. Une séance en classe de 5^e en physique

32La tâche proposée aux élèves vise à travailler sur la correspondance entre unités de volume et unités de contenance. Les élèves disposent d’une « égalité mystère » (1l =… dm³) et doivent retrouver la valeur manquante donnant l’équivalence entre ces unités. Ils disposent d’une brique de lait de 1l et doivent en mesurer la longueur, la largeur et la hauteur pour déterminer son volume en dm³. Lors de la mise en commun, l’enseignant collecte les mesures obtenues par les différents groupes7, et le calcul du volume de la brique est ensuite réalisé collectivement. Le résultat du calcul est de 1,026 dm³. L’enseignant affirme alors que : « le volume de la brique ici, il vaut 1,026 dm³, ce 1,026 dm³ si on approxime à l’unité, c’est-à-dire qu’on est proche de quelle grande valeur, ici ? » Les élèves répondent qu’on est proche de 1 et l’enseignant poursuit : « On est proche de 1, donc ça veut dire que le volume de la brique, il est de 1 dm³ » pour conclure un peu plus tard que la brique de contenance 1l a un volume de 1 dm³ et il en déduit la relation 1l=1dm³. Cet écart à la valeur théorique (1dm³) pourrait amener des discussions sur la précision des mesures de longueurs, et éventuellement sur les causes possibles de dispersion (instrument, observateur et grandeur), ou encore à une discussion sur les limites du modèle. En effet lorsqu’on écrit 1l = 1dm³ on se place dans le cas où le volume de la paroi est nul, comme on le fait classiquement en mathématiques où on considère le plus souvent des objets idéaux dont les parois ont une épaisseur nulle, ce qui n’est pas le cas pour la brique de lait utilisée par les élèves. Cependant l’enseignant ne s’empare pas de cette possibilité, il « évacue » le problème en arrondissant à l’unité, ce qui peut conduire les élèves à s’interroger sur l’intérêt de la démarche qu’ils ont suivie si l’on n’en retient pas les résultats.

Chloé

Quentin

3.2.2. Une séance en classe de 6^e en mathématiques

33Nous nous intéressons au déroulement d’une tâche proposée dans une classe de sixième : « Deux élèves ont construit le symétrique d’un triangle, lequel des deux a commis une erreur ? Quelle est la propriété de la symétrie axiale qui n’est pas respectée ? »

34La réponse attendue est que Quentin n’a pas respecté la propriété de « conservation des longueurs ». Le travail sur les propriétés de conservation de la symétrie axiale en sixième vise à initier les élèves au raisonnement sur les propriétés des figures (pour dépasser le raisonnement sur le dessin). Le raisonnement expert consiste ici à considérer que les longueurs respectives des côtés des triangles symétriques sur le dessin de Quentin ne sont pas égales, ce qui peut être affirmé « à vue d’œil » dans la mesure où les écarts sont suffisamment importants (cf. la remarque faite dans la première partie).

35Lors de la correction de l’exercice en classe, une élève invoque la non-conservation des angles dans le cas de Quentin. Cela peut classiquement être interprété comme une manifestation de la conception erronée de la mesure d’un angle comme étant liée à la longueur de ses côtés, mais peut tout aussi bien résulter d’une imprécision lors de la réalisation d’un mesurage avec un rapporteur. Affirmant que « visuellement, on ne peut pas être certain », l’enseignant demande à la classe et à un élève au tableau de vérifier en mesurant les angles ABC et A’B’C’ au rapporteur, leur demandant d’être « aussi précis que possible ». L’élève au tableau, aidé par l’enseignant, trouve respectivement 45 et 46 degrés. L’enseignant affirme alors que « c’est presque la même mesure, à 1° près, les angles sont les mêmes […] donc la propriété de conservation des angles est vérifiée ». Or, lorsqu’un élève propose comme réponse que c’est la propriété de conservation de longueurs qui n’a pas été respectée par Quentin, l’enseignant affirme cette fois-ci qu’il n’est pas nécessaire de mesurer car cela « se voit bien ». La mesure est donc tout d’abord considérée comme moyen de validation (de l’égalité des angles), puis comme non nécessaire (pour l’inégalité des longueurs), mais l’enseignant prend ici à sa charge le contrôle des incertitudes, c’est-à-dire le fait, dans un cas, de considérer que l’écart entre les deux mesures est lié à l’imprécision du mesurage, dans l’autre cas à un écart significatif. Du premier épisode au second, on observe que le rôle de la mesure change, de moyen de validation à non nécessaire pour la validation, mais l’ensemble résulte d’un raisonnement expert supposant d’interpréter les écarts de mesure comme incertitude ou comme écart réel, raisonnement qui n’est pas explicité par l’enseignant et dont on peut penser qu’il n’est pas à la portée des élèves. Cela brouille ainsi potentiellement la compréhension par les élèves du rôle de la mesure et des incertitudes dans les différents paradigmes.

36Dans les deux exemples que nous avons présentés, on peut supposer que certains choix sont susceptibles de générer des difficultés et/ou des malentendus pour les élèves. Ainsi, l’absence de réflexion sur « le statut des erreurs et des écarts et sur les conditions de remise en cause d’une déclaration ou d’une théorie » risque, comme le pointaient Brousseau et Brousseau, de compromettre « les acquisitions mathématiques ou culturelles fondamentales » (1991, p. 83 et 84). D’autres analyses réalisées en sixième tendent à confirmer ces difficultés des enseignants à gérer les incertitudes et les différents statuts de la mesure en géométrie (Chesnais, Munier, 2013). Notons que si peu d’autres recherches se sont jusque-là penchées sur les enseignants et si elles sont relativement anciennes, elles vont dans le même sens : Séré et al. (1998) pointent notamment la place réduite de l’étude des questions de variabilité de la mesure et des incertitudes dans les pratiques des enseignants de physique et chimie au lycée. Brousseau et Brousseau (1991) pointaient également que les enseignants tendaient à « ignorer les activités effectives [de mesurage] et à rejeter à plus tard les élucidations théoriques » (p. 83).

4. Conclusion

37Les exemples d’analyse présentés ici illustrent le fait que la prise en charge des questions épistémologiques liées à la mesure est très limitée dans les manuels scolaires et qu’elle peut être a priori problématique dans les classes, malgré l’importance des enjeux associés, liés d’une part à la compréhension de la nature de l’activité scientifique – notamment de la notion de modèle en physique – d’autre part au changement de géométrie (enjeu essentiel de l’enseignement de la géométrie au collège).

38Même si nous pensons qu’il ne s’agit pas d’en faire des objectifs d’apprentissage identifiés comme tels dans les programmes indépendamment des contenus notionnels comme c’est le cas pour les questions épistémologiques liées à la nature des sciences aux États-Unis, nous considérons qu’il est essentiel d’intégrer une réflexion explicite sur la mesure et les incertitudes dans l’enseignement dès l’école élémentaire et tout au long de la scolarité. Ainsi, des chercheurs font des propositions pour améliorer la prise en charge de ces questions à différents niveaux d’enseignement. Notamment, plusieurs recherches ont montré qu’il est possible d’aborder avec les élèves des questionnements d’ordre épistémologique sur la mesure dès l’école élémentaire (Munier et al., 2013a ; Brousseau et Brousseau 1991 ; Petrosino et al., 2003). Pour le secondaire, différents auteurs proposent des pistes pour un travail sur ces questions. En géométrie, on peut citer notamment le travail de Houdement (2007) ; pour la physique, voir Munier et Passelaigue (2012) pour une synthèse.

39Cependant, les approches préconisées nécessitent la maîtrise par les enseignants de nombreuses compétences – disciplinaires, mais aussi épistémologiques et didactiques. Or les rares recherches menées sur cette question laissent penser que les enseignants ne maîtrisent pas suffisamment les concepts en jeu (Séré et al., 1998 ; Houdement, Kuzniak, 2000 ; Munier, Passelaigue, 2012 ; Passelaigue, Munier, 2015), ce qui peut expliquer la faible prise en charge par les enseignants des questions liées à la mesure. Cela pose la question de la formation des enseignants de l’école élémentaire et du collège dans les deux disciplines (cf. Houdement, Kuzniak 2000 à propos de la géométrie), voire d’un point de vue interdisciplinaire.

40Des travaux de recherche en didactiques des mathématiques et de la physique (études des pratiques ordinaires des enseignants, ingénieries etc.) sont nécessaires pour explorer davantage les contraintes qui pèsent sur cet enseignement, en termes de difficultés d’élèves et d’enseignants, ainsi que sur les marges de manœuvre possibles, notamment pour permettre à terme de développer des outils de formation.