1Nous donnons, dans ce chapitre, deux exemples de réflexion sur les mathématiques et sur leur apprentissage pouvant enrichir le travail de l’enseignant dans l’élaboration de ses scénarios, l’un sur la symétrie orthogonale en début de collège et l’autre sur l’algèbre élémentaire en collège et début de lycée. D’autres choix auraient pu être faits, qu’un prochain ouvrage devrait permettre d’illustrer. Nous n’avons d’ailleurs pas tiré parti de tout ce qui existe en algèbre. L’enseignement de l’algèbre a donné lieu en effet à beaucoup de recherches approfondies dans de nombreux pays. Cependant ces travaux ne donnent pas toujours lieu à une utilisation directe par les enseignants, ou portent sur des points particuliers, isolés, ou sont inadaptés aux programmes français1.

2Il faut souligner que les deux sections de ce chapitre sont un peu différentes des précédentes. La première section étant directement issue d’une recherche récente et la seconde appuyée sur de nombreuses recherches assez diverses, elles peuvent être moins accessibles à une lecture rapide et moins directement « transposables » que les autres chapitres de cette partie.

3En particulier un travail sur les manuels correspondants peut s’inscrire en intermédiaire entre ces réflexions et les choix effectifs de scénarios.

Section 1 Relief et réflexion sur les scénarios : la symétrie orthogonale en sixième, Aurélie Chesnais

4Dans cette partie sur la notion de symétrie axiale, nous présentons le « relief » en tenant compte des programmes du début du secondaire en France, d’éléments historiques et épistémologiques sur ce concept ainsi que d’éléments didactiques tels que les conceptions erronées des élèves. Nous donnons ensuite un exemple de scénario effectif et nous dégageons en quoi cet exemple remplit un certain nombre de conditions propices aux apprentissages.

5Cette section, comme nous l’avons annoncé ci-dessus, est directement issue d’un travail de recherche2 (thèse) que nous n’avons pas cherché à trop alléger. En particulier, les paragraphes I et II reprennent des analyses didactiques.

I. Aspects épistémologiques

6La symétrie orthogonale n’est pas seulement un concept mathématique, mais elle est aussi un objet de culture partagée dans la société. En empruntant la terminologie de Vygotski (1997), la symétrie est à la fois « concept quotidien », saturé d’expériences spontanées, et « concept scientifique », davantage structuré et dont la conceptualisation nécessite un apprentissage de type scolaire. Précisons qu’à notre sens, seul le second peut être considéré comme un concept au sens que nous donnons à cette notion dans cet ouvrage, à la suite de Vergnaud. Cependant, la distinction qu’apporte la théorie de Vygotski nous semble féconde pour étudier l’enseignement et l’apprentissage de cette notion. L’un et l’autre concepts sont liés, mais le concept quotidien précède le concept scientifique, à la fois historiquement et dans le développement de l’enfant. Par ailleurs, si la symétrie orthogonale est aujourd’hui définie, en mathématiques, comme une transformation géométrique, une étude de la genèse historique du concept de symétrie montre qu’elle est avant tout associée à l’harmonie, l’équilibre d’une figure ou d’un objet, « le rapport, la proportion, la régularité des parties nécessaires pour composer un beau tout » (encyclopédie de Diderot et d’Alembert, 18^e s.). Nous distinguons donc deux aspects de la symétrie, que nous qualifions respectivement de statique et de dynamique3, le premier faisant référence aux propriétés d’un objet (la présence d’un ou plusieurs axes de symétrie dans une figure), le second à la transformation géométrique, c’est-à-dire à la relation entre deux objets (pouvant éventuellement être confondus). L’articulation entre aspects dynamique et statique du concept diffère selon que l’on considère le concept quotidien ou scientifique. En effet, dans le concept quotidien, l’aspect statique est préexistant et omniprésent, alors que l’idée de transformation – ou d’un concept quotidien approchant comme le mouvement ou le déplacement (cf. Bkouche, 1991) – en est quasiment absente, et ne peut être vue, au mieux, que comme mouvement de pliage permettant de superposer les deux parties d’une figure. Dans le concept mathématique en revanche, la transformation préexiste en quelque sorte – du moins depuis que la symétrie orthogonale est définie comme élément du groupe des isométries du plan (cf. Klein (1849-1925) et son programme d’Erlangen) – puisque la présence d’axes de symétrie dans une figure n’est que le corollaire de l’existence d’une symétrie orthogonale la conservant globalement.

7La conceptualisation de la symétrie orthogonale comme transformation géométrique suppose d’après Grenier et Laborde (Grenier, 1985 ; Grenier et Laborde, 1988) d’accéder à un certain « niveau d’appréhension des transformations ». Elles en proposent trois.

8Au premier niveau, la symétrie est redéfinie sans l’outil pliage ou miroir ; elle est une relation entre deux configurations géométriques ou deux parties d’une configuration géométrique. A ce premier niveau, les cas où il y une ou deux « figures » sont traités séparément, distinction qui n’a pas lieu d’être dans le cas du concept mathématique.

9Au deuxième niveau, la symétrie est une application du plan dans lui-même, bijection involutive dont les points de l’axe sont les points invariants.

10Au troisième niveau, la symétrie devient outil fonctionnel pour la résolution de problèmes et la mise en évidence d’invariants ou de propriétés liées à des constructions.

11Jahn (1998) ajoute un quatrième niveau. La transformation est considérée comme un élément d’un groupe.

12Le passage du premier au deuxième niveau, qui est visé au cours de l’enseignement en France, suppose une évolution de la symétrie agissant sur les figures comme une transformation ponctuelle.

13En nous inspirant de la démarche de Grenier et Laborde, mais sans que cela suppose une correspondance entre les deux, nous avons identifié quatre paliers caractérisant l’évolution de l’aspect statique, du concept quotidien vers le concept mathématique :

• Palier 1 : l’idée de régularité, à rapprocher de l’idée de « milieu d’une figure » ; il s’agit d’une propriété entièrement perceptive. La symétrie est une relation entre deux configurations géométriques ou deux parties d’une configuration géométrique (cela constitue deux cas distincts).

• Palier 2 : si on plie la figure ou que l’on retourne un calque, il y a superposition (propriété liée à l’utilisation d’un instrument).

• Palier 3 : l’image de ce qui est d’un côté de l’axe par la symétrie est ce qui est de l’autre côté de l’axe ; intervention de la transformation, éventuellement liée au pliage, mais conçue comme transformation d’un demi-plan dans un autre.

• Palier 4 : l’image de la figure par la symétrie est la figure elle-même : notion d’invariance globale. La symétrie est alors une application du plan dans lui-même, bijection involutive dont les points de l’axe sont les points invariants, les figures admettant un axe de symétrie sont invariantes dans la symétrie par rapport à cet axe.

14Notons que la transformation n’intervient qu’au troisième palier, même si elle est déjà implicitement présente dans l’idée de pliage du deuxième. Là encore, au premier palier, c’est plutôt le concept quotidien qui prévaut.

Conséquences pour l’enseignement et l’étude de l’enseignement de la symétrie orthogonale

15Ce qui est visé par l’enseignement des mathématiques est, à terme, le concept scientifique de symétrie orthogonale. Or, comme le précise Vygotski lui-même, « le développement des concepts scientifiques doit immanquablement prendre appui sur un certain niveau de maturation des concepts spontanés » (Vygotski, 1997, p. 289). Le concept quotidien peut alors jouer un rôle de levier ou d’obstacle pour l’accès au concept scientifique.

16Cela implique, comme le précisait Tavignot (1993), de ne pas perdre de vue que les savoirs de référence, à tous les niveaux de la transposition didactique, de la noosphère à la classe, ne se limitent pas aux savoirs savants mathématiques. Il faut donc tenir compte de l’influence du concept quotidien sur les programmes, les scénarios d’enseignement proposés par les enseignants et les manuels, ainsi que sur les élèves eux-mêmes.

17Par ailleurs, une conceptualisation de la symétrie orthogonale en tant que concept mathématique nécessite une synthèse des aspects statique et dynamique. Or, comme nous l’avons précisé précédemment, le lien entre ces deux aspects diffère selon que l’on considère le concept quotidien ou le concept mathématique. Permettre cette conceptualisation suppose donc de (re-) définir l’aspect dynamique sans avoir recours au pliage puis de (re-) définir l’aspect statique par l’invariance dans la transformation. Or, la transformation n’intervenant qu’au troisième palier de conceptualisation de l’aspect statique, le lien entre aspects dynamique et statique de la symétrie n’est possible à établir qu’à ce stade.

II. Les programmes

18Notre étude est initialement fondée sur les programmes mis en application en 2005, définis par le BOHors série N° 5 du 9 septembre 2004, mais les analyses restent valables pour les programmes plus récents, à ceci près que la place de la symétrie s’est un peu amenuisée avec la diminution de l’importance accordée à l’étude des transformations au collège. Ces programmes étaient issus, à quelques modifications près en 1996 puis en 2004, des programmes de 1985, conçus dans l’après réforme des mathématiques modernes. Comme le rappelle le rapport Kahane en 2000 :

« Le principe qui gouverne les programmes actuels est l’introduction progressive des transformations (en commençant par la symétrie axiale) (p. 16) […]
En ce qui concerne la cohérence mathématique des programmes, ils reposent sur un système d’axiomes (implicite) pas très éloigné de celui d’Euclide, mais dans lequel les cas d’égalité des triangles sont absents (note : ils sont sous-jacents en cinquième dans le paragraphe : construction de triangles), remplacés par l’usage des symétries axiales » (p. 40). (Kahane, 2000).

19En effet, les programmes de 1985 étaient organisés, en ce qui concerne la géométrie, autour de l’enseignement des transformations : la symétrie orthogonale en sixième, la symétrie centrale en cinquième, la translation en quatrième et la rotation ainsi que la composition des transformations en troisième. L’enjeu était alors une axiomatisation de la géométrie plane à partir de la symétrie orthogonale, comme le précisait le document d’accompagnement des programmes de 1985 :

« Au terme d’un processus progressif, le champ des figures étudiées est enrichi, le vocabulaire est précisé et les connaissances sont réorganisées à l’aide de nouveaux outils, notamment la symétrie orthogonale par rapport à une droite (symétrie axiale). »

20Il s’agit de

« […] partir de notions acquises à l’école élémentaire et aboutir à des définitions plus élaborées et plus efficaces : par exemple, on reconnaît qu’un triangle est isocèle à ce qu’il possède un axe de symétrie. »

21En ce qui concerne le concept de symétrie orthogonale comme objet (au sens de Douady, 1986), les objectifs sont clairs quant au lien à établir entre aspects dynamique et statique (donc quant au niveau de conceptualisation visé) :

« Suivant les cas, [la symétrie orthogonale] apparaîtra sous la forme :
- de l’action d’une symétrie axiale donnée sur une figure ;
- de la présence d’un axe de symétrie dans une figure, c’est-à-dire d’une symétrie axiale la conservant. »

22La fin du deuxième item indique bien qu’il faut redéfinir l’aspect statique par l’invariance dans la transformation et non pas se contenter d’une approche perceptive ou instrumentée.

23Toutefois, malgré la structure en trois parties (figures planes, géométrie dans l’espace, symétrie) des programmes de 1985 qui a été conservée en 2005, cette logique d’organisation autour des transformations s’est progressivement estompée et la tendance se confirme même depuis, puisque, dans les programmes de 2008, seules la symétrie orthogonale et la symétrie centrale restent enseignées au collège. Dans le programme de sixième, tout ce qui était lié à la symétrie orthogonale en tant qu’outil et qui en faisait l’« élément organisateur des connaissances » est rendu non exigible pour le socle commun, voire décalé à l’année de cinquième ou de quatrième.

24Dans le programme de 2005, la symétrie orthogonale n’intervient donc plus, en tant qu’outil, que de manière ponctuelle à l’intérieur de la partie consacrée aux figures planes. La médiatrice d’un segment, dont l’introduction était auparavant liée à la symétrie, est mentionnée dans la partie sur les figures planes, induisant plutôt une introduction préalable au travail sur la symétrie, en tant que droite perpendiculaire à un segment en son milieu ou ensemble de points équidistants des extrémités d’un segment, puis une utilisation pour définir le symétrique d’un point. Quant à la partie consacrée à la symétrie orthogonale en tant qu’objet, l’explicitation du lien à établir entre aspects dynamique et statique citée ci-dessus a disparu, laissant un flou sur la manière dont les deux aspects doivent être abordés et articulés ; en particulier, on peut se contenter, tout en restant en cohérence avec les programmes, d’aborder l’aspect statique uniquement du point de vue perceptif. Les ambitions en terme de passage à une géométrie déductive ont également été revues à la baisse : disparition de la mention de « brèves séquences déductives », des « définitions plus élaborées et plus efficaces ».

25Le fait que les compétences visées soient exclusivement des constructions semble indiquer à première vue que l’accent est mis sur une géométrie instrumentée qui devrait remplacer progressivement le « travail expérimental (pliage, papier calque) » sur lequel les activités doivent s’appuyer. Mais ce type de construction suppose une « procédure analytique »4 (Tahri, 1993) ; si cette procédure peut être établie sans pour autant aborder la symétrie comme transformation ponctuelle du plan – i.e. en restant au premier niveau d’appréhension des transformations (cf. ci-dessus), comme préconisé par le programme – il est tout de même nécessaire de définir le symétrique d’un point grâce à la médiatrice (éventuellement sans la nommer). Cela implique notamment de considérer le segment joignant un point et son symétrique, qui est difficile à concevoir si la symétrie est vue comme transformation d’un demi-plan dans un autre (conception erronée associée au pliage, voir plus loin). Le dépassement de cette conception erronée est aussi indispensable pour la construction de symétriques de figures coupées par l’axe. Il est donc nécessaire de redéfinir la symétrie sans l’outil pliage, comme Grenier le préconise. On peut noter que l’instrumentation non plus par le pliage, mais par le papier calque ne présente pas les mêmes inconvénients : en effet, le retournement du calque permet de faire fonctionner la transformation ‘dans les deux sens’, éventuellement pour des figures coupées par l’axe, et de concevoir la présence d’axe(s) de symétrie comme invariance globale de la figure (c’est le cas où, en retournant le calque, la figure décalquée se superpose avec la figure initiale).

26De manière plus générale, les programmes indiquent qu’en classe de sixième l’enseignement doit viser à « préparer à l’acquisition des méthodes et des modes de pensée caractéristiques des mathématiques » ; entre autres, pour la géométrie, « [l]’objectif [est] d’initier à la déduction ». En revanche, dans le tableau qui indique les contenus, compétences et commentaires, il n’est jamais fait mention explicitement de raisonnement ou de déduction : cet objectif semble transversal à l’ensemble des contenus de géométrie. Or, il apparaît (dans les manuels, par exemple, cf. ci-dessous), que la symétrie orthogonale est une notion privilégiée pour l’initiation au raisonnement déductif, notamment par l’application des propriétés de conservation (les programmes désignent ainsi les propriétés de « conservation des distances, de l’alignement, des angles et des aires » de la symétrie orthogonale). Les programmes parlent à ce propos d’un « changement de contrat » que nous interprétons en termes de changement de paradigme géométrique (Houdement et Kuzniak, 2000) : il s’agit en effet du passage de la géométrie dite « naturelle » G1, à la géométrie dite « axiomatique naturelle » G2.

Conséquences pour l’enseignement de la notion en sixième

27Ce programme, qui préconise la continuité avec les contenus du cycle 3 et un travail à partir des concepts quotidiens, nous semble porteur de contradictions. En effet, il indique d’une part que la symétrie doit être introduite par une phase expérimentale, utilisant le pliage et le papier calque, dans le prolongement du travail entrepris à l’école primaire (ce qui place clairement la problématique dans le cadre d’une géométrie plutôt perceptive et instrumentée) ; mais il précise d’autre part qu’un travail doit être mené sur les propriétés de la symétrie et la procédure analytique de construction de symétriques sur papier uni, ce qui relève clairement de la géométrie déductive. L’articulation à faire entre les deux reste floue : les propriétés doivent être « dégagées », sans savoir si cela signifie qu’elles doivent être simplement constatées ou justifiées (par exemple par le pliage). Il n’est pas non plus précisé si les notions de figures (et/ou de points) symétriques doivent être définies ; cette imprécision vaut aussi pour la notion d’axe de symétrie, qui est considérée comme connue (cf. le document d’accompagnement des programmes de géométrie du collège, 2005, p. 1), mais qui n’est probablement évoquée au cycle 3 que du point de vue perceptif ou associée au pliage (c’est-à-dire au palier 1 ou 2 des 4 paliers que nous avons évoqués plus haut). Le niveau de formalisation, ou de théorisation visé semble très limité : l’action de la symétrie n’est considérée que sur les figures, donc de façon globale (au niveau 1 (Grenier et Laborde, 1987)), or cela rend difficile l’articulation avec l’aspect statique, en particulier si celui-ci se limite au concept quotidien. Surtout, l’utilisation des propriétés de conservation (notamment des longueurs, des mesures d’angles et des aires) à des fins de travail sur le raisonnement déductif semble difficile, de même que le lien avec les notions de médiatrices, bissectrices et le reste de la géométrie plane.

28De plus, un travail limité au niveau 1, comme semble le préconiser le programme, favorise certaines conceptions erronées (voir plus loin) et limite presque nécessairement le travail sur l’approche statique à son aspect quotidien.

29Bref, il existe plusieurs scénarios possibles entre lesquels les programmes ne permettent pas de trancher, qui n’accordent pas la même place aux aspects perceptifs, instrumentés et déductifs, font des liens différents entre les approches statique et dynamique et considèrent la transformation à des niveaux (au sens de Grenier et Laborde, ibid.) différents. Néanmoins, un scénario conforme aux programmes doit nécessairement comporter à la fois un travail sur la transformation géométrique (notamment son action sur les figures, y compris le point) et sur les axes de symétrie de figures. Les tâches de construction constituent une part importante du travail et doivent viser plusieurs objectifs :

• constructions de symétriques sur quadrillages (en utilisant les carreaux) ;

• construction du symétrique d’un point à l’équerre et à la règle ou au compas ;

• construction des symétriques de figures usuelles (segment, droites, cercles) par une procédure analytique (cf. ci-dessus) ;

• construction de symétriques de figures complexes sur papier uni ;

• constructions de symétriques avec axe coupant la figure, compléter une figure par symétrie ;

• constructions de figures (du point à des figures complexes) dans des configurations complexes impliquant éventuellement des conceptions erronées – comme par exemple dans les exercices illustrés par les figures 1 et 2.

30D’autres objectifs sont plus conceptuels : la maîtrise de la définition du symétrique d’un point (notamment les propriétés de perpendicularité et d’équidistance à l’axe), ou encore les propriétés de conservation (des longueurs, des mesures d’angles et de l’alignement) qui sont nécessaires pour la validation de la méthode analytique de construction de symétriques. Enfin, tout scénario doit comporter un minimum de travail de géométrie déductive (dans des tâches de construction ou des tâches de preuve5), la proportion pouvant toutefois être très variable.

III. Les conceptions « erronées »

31Nous reprenons ici essentiellement le travail de Grenier, mais aussi celui de Tahri et la synthèse que Lima a faite de ces travaux dans sa thèse. Nous complétons ces résultats par nos propres observations (Chesnais, 2009).

32Nous retenons ainsi quatre catégories de conceptions erronées.

33– La symétrie orthogonale comme transformation d’un demi-plan dans un autre - Grenier la caractérise ainsi :

« La droite de symétrie matérialise sur la feuille deux demi-plans, et la symétrie est perçue comme une transformation d’un demi-plan dans l’autre demi-plan […]. La conception sous-jacente est que la figure symétrique est une figure de même forme et de même dimension, située de l’autre côté et à la même “distance” de l’axe de la symétrie. Cette “distance” est perçue globalement, comme une position d’équilibre. » (Grenier, 1988, p. 21)

Figure 1.

34Cette conception est liée à la représentation miroir ou pliage, fortement associée au concept quotidien. Elle représente un obstacle pour concevoir la symétrique d’une figure coupée par l’axe, comme l’illustre la production d’élève ci-contre, pour la tâche de construction du symétrique de la « maison » par rapport à la droite (figure 1). Elle est liée à l’idée que cette transformation ne fonctionne que dans un sens (le plus souvent, de gauche à droite ou de haut en bas).

35– La confusion avec d’autres transformations géométriques - la confusion avec la symétrie centrale (Tahri, p. 68) en particulier est fréquente, probablement parce que celle-ci est aussi associée à un « retournement », certes de nature différente. Par exemple, des élèves attribuent un axe de symétrie à des figures qui n’en ont pas mais ont un centre de symétrie, ou bien ils appliquent une symétrie centrale par rapport à un point de contact entre la figure et l’axe dans la tâche de construction d’un symétrique. La confusion avec la translation est aussi possible : on la retrouve dans ce que Tahri qualifie de conception-parallélisme, à propos de la construction de symétriques de segments : « le segment objet et son image sont parallèles et de même longueur. » (Tahri, ibid., p. 49 – 50)

36– Les conceptions liées aux cas particuliers des axes verticaux et horizontaux (illustrées aussi par la figure 1) : elles se manifestent principalement par des théorèmes en actes faux (Vergnaud, 1990) tels que : un point et son symétrique sont sur une même droite verticale (ou horizontale) ; un segment horizontal (respectivement vertical) est transformé en un segment horizontal (respectivement vertical) etc. Dans la recherche d’axes de symétrie, elles se manifestent par le fait que les élèves ne perçoivent pas d’axe autre que vertical ou horizontal.

37Les résultats aux évaluations à l’entrée en CE2, en 6^e dans les années 2000 à 2005 corroborent ces analyses (voir annexe 1).

38Cumulées avec la confusion entre symétries orthogonale et centrale, elles ont aussi pour corollaire des conceptions erronées telles qu’un segment et son symétrique ont le même support, impliquant par exemple que le symétrique d’un segment soit tracé dans l’alignement du segment initial (nous parlerons alors de conception erronée d’alignement6). Grenier précise en outre que ces conceptions erronées constituent un réel obstacle dans le cas de la construction de symétriques de figures, mais que l’orientation de l’axe a moins d’impact lorsqu’il s’agit de symétriques de points.

39– Enfin, voici quelques éléments qui, s’ils ne constituent pas une conception erronée de la symétrie, sont tout de même des indices d’une conceptualisation fragile ou incomplète : le fait de considérer comme symétriques « des figures pouvant être décomposées en deux parties identiques mais ne présentant pas de symétrie orthogonale », (Grenier, ibid., p. 107), c’est-à-dire des figures pour lesquelles la ligne qui partage perceptivement la figure en deux n’est pas une droite. Le fait d’amalgamer une figure et sa figure symétrique, par exemple en nommant un point et son symétrique de la même manière est l’indice d’une conception de la symétrie comme déplacement d’une figure, à la fois probablement liée au concept quotidien, mais aussi au pliage et notamment aux verbalisations qui accompagnent dans l’enseignement ces pliages voire les constructions de symétriques : « où elle va aller la figure ? »7

40L’interprétation en termes de concepts quotidien et scientifique montre que ces conceptions, qualifiées d’erronées, ont en général un domaine de validité beaucoup plus large en ce qui concerne le concept quotidien que le concept scientifique. En effet, la symétrie dans le cas du concept quotidien est essentiellement liée à des axes horizontaux ou verticaux et à des figures qui ne sont pas coupées par l’axe (lorsqu’une figure est coupée par l’axe, elle est perçue comme étant en deux parties), ce qui rend largement valides les conceptions de transformation d’un demi-plan dans un autre ainsi que les conceptions liées aux axes horizontaux et verticaux ; de même, la conception quotidienne de l’aspect dynamique, aussi peu présente soit-elle, est celle du déplacement d’une figure ou d’une partie d’une figure, ce qui rend valide l’amalgame de la figure avec sa symétrique, mais cela fait obstacle à la notion de transformation ponctuelle. Les conceptions dites erronées permettraient ainsi de définir en creux le concept quotidien – dans sa version la plus élémentaire – : la symétrie serait le fait pour deux figures ou deux parties d’une figure, d’être situées de part et d’autre d’une ligne, « en face » et à la même distance ; le caractère « en face » n’étant pas spécifiquement associé à la direction orthogonale à l’axe et la distance étant appréciée de manière globale.

41Cela expliquerait non seulement l’origine de ces conceptions, erronées du point de vue du concept scientifique, mais aussi la cohabitation que l’on observe parfois, après enseignement, entre des conceptions correctes et erronées, ces dernières réapparaissant dans des cas de difficultés particulières : l’élève ne reconnaît pas les conditions d’application des connaissances scientifiques qu’il a apprises et mobilise spontanément les conceptions les plus anciennes, à savoir le concept quotidien.

42Ces conceptions sont en outre parfois renforcées par certains aspects de l’enseignement et/ou par le fait que l’on s’appuie effectivement sur le concept quotidien pour enseigner, incitant les élèves à mobiliser les propriétés qui lui sont associées. En effet, l’idée du reflet dans l’eau ou dans le miroir véhicule l’idée de transformation d’un demi-plan dans un autre, éventuellement non coplanaires ; on peut même s’interroger sur la conservation des longueurs et des directions orthogonales à l’axe dans le cas d’un reflet dans l’eau, l’effet de perspective pouvant jouer. Si l’on mobilise ces conceptions dans le cours de mathématiques, il est alors difficile de donner du sens au symétrique d’une figure coupée par l’axe ou, plus encore, au segment formé par un point et son symétrique.

Conséquences pour l’enseignement et l’étude de la symétrie orthogonale

43Ces conceptions erronées doivent nécessairement être prises en considération dans l’enseignement, au moins pour ne pas les renforcer et même pour espérer y remédier. Il convient ainsi tout d’abord d’éviter une surreprésentation de cas particuliers où les axes sont verticaux ou horizontaux. En outre, dépasser la conception de la symétrie comme transformation d’un demi-plan dans un autre suppose de disposer d’une définition de la transformation indépendante du pliage. Or cela nécessite soit la définition comme transformation ponctuelle (le deuxième niveau de Grenier et Laborde), soit une définition instrumentée non plus par le pliage mais par le retournement d’un calque.

44La prégnance des conceptions erronées malgré l’enseignement étant en outre avérée, comme en témoignent les résultats obtenus par Grenier (1985) sur des élèves de quatrième et troisième avant et après enseignement8, leur prise en compte et l’organisation d’un travail spécifique semblent indispensables pour les dépasser.

IV. Le scénario de Martine

45Ce scénario a été recueilli dans le cadre d’un travail de thèse (Chesnais, 2009), dans la classe d’une enseignante expérimentée exerçant dans un collège ordinaire de la région toulousaine.

1) Structure chronologique

46Le scénario de Martine est structuré en trois parties.

47La première porte sur l’aspect dynamique et inclut la caractérisation de figures symétriques comme superposables par pliage, la définition du symétrique d’un point par les propriétés d’orthogonalité et de milieu, la construction de symétriques de points, segments, demi-droites, droites, cercles et les propriétés de conservation (alignement, longueurs, angles, aires, parallélisme, orthogonalité).

48La deuxième partie porte sur l’aspect statique et inclut la recherche d’axes de symétrie de figures géométriques d’une part (segment, droite, angle, triangles particuliers, quadrilatères particuliers, cercles), de dessins figuratifs d’autre part ; elle inclut également une « méthode pour déterminer si une figure admet un axe de symétrie » et se termine par un exercice où il s’agit de trouver des figures ayant un nombre d’axes de symétrie donné. La dernière partie porte sur la notion de médiatrice et fait le lien entre les deux aspects de la symétrie ; elle inclut la définition de la médiatrice comme droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu, le fait que celle-ci est un axe de symétrie du segment ainsi que la propriété d’équidistance (directe et réciproque), utilisée notamment pour élaborer et justifier la construction au compas de la médiatrice d’un segment et du symétrique d’un point ; elle se termine par la reformulation, à l’aide de la médiatrice, de la définition du symétrique d’un point et par des exercices « de synthèse » faisant intervenir plusieurs éléments du chapitre ainsi que des connaissances anciennes.

49Le scénario s’organise donc clairement autour des aspects dynamique et statique de la symétrie orthogonale. Une intervention de Martine en classe lors de la transition entre la première et la deuxième partie corrobore cette analyse :

« Jusque-là, vous aviez des axes de symétrie et vous deviez construire des symétriques de figures, réciproquement j’ai déjà une figure complète, est-ce que je peux trouver un axe de symétrie, c’est-à-dire est-ce qu’on peut la plier sur elle-même ? »

50L’introduction par l’aspect dynamique offre en outre la possibilité de redéfinir l’aspect statique en lien avec l’invariance. Enfin, le fait que la troisième partie soit conçue pour faire le lien entre les deux aspects, notamment via la notion de médiatrice, montre que le scénario est guidé par l’exigence d’une certaine cohérence mathématique et didactique.

2) Traitement des concepts mathématiques et quotidien

51Le travail des élèves porte essentiellement, dans ce scénario, sur le concept mathématique, la place faite au concept quotidien étant très réduite et le passage de l’un à l’autre étant au moins partiellement travaillé. Ainsi seuls le premier exercice du chapitre et une partie du travail sur les axes de symétrie de figures mobilisent des concepts quotidiens : le premier exercice fait appel au concept quotidien de mouvement afin de caractériser la symétrie orthogonale par le pliage et/ou le retournement du calque et on peut penser que les exercices de recherche d’axes de symétrie sur des dessins figuratifs font davantage appel à la perception de la régularité – qui relève du concept quotidien de symétrie – qu’à l’invariance dans la transformation. Toutefois, nous constatons que de nombreuses tâches liées à l’aspect dynamique comportent deux dessins situés de part et d’autre de l’axe tandis que les tâches portant sur les axes de symétrie de figure comportent systématiquement un dessin unique : cela indique selon nous que l’approche des aspects dynamique et statique n’est pas tout à fait indépendante du concept quotidien.

3) Traitement des aspects dynamique et statique

Figure 2. Exercice tiré du manuel Bréal 6^e, 2005, p. 199.

52La question des aspects dynamique et statique en lien avec les conceptions quotidiennes et erronées est prise en compte dans le scénario. En effet, premièrement, un exercice de la deuxième partie permet de travailler sur cette question : il s’agit de compléter une figure pour qu’elle admette un axe de symétrie, le dessin final figurant un personnage stylisé ; ensuite, lors de la construction de symétriques de segments et droites, sont envisagés des cas où l’axe coupe la figure et même des cas où la figure initiale et son symétrique sont au moins partiellement confondues ; enfin, un certain nombre de tâches consistent, après avoir construit un symétrique, à justifier une propriété d’une figure formée par des éléments situés de part et d’autre de l’axe (la question c. de l’exercice présenté ci-contre (figure 2) en est un exemple). Or, comme nous l’avons précisé dans la deuxième partie de cet article, ces tâches sont de nature à faire évoluer la conception de transformation d’un demi-plan dans un autre : elles favorisent donc la conceptualisation mathématique de la symétrie et préparent le passage au deuxième niveau d’appréhension des transformations.

4) Niveaux d’appréhension de la transformation

53Conformément au programme, le scénario porte sur la symétrie en tant qu’action sur des figures (elle est notamment introduite comme telle) : le symétrique d’un point est étudié en tant que symétrique d’une figure particulière, qui sert ensuite à établir la méthode analytique (cf. ci-dessus) de construction du symétrique d’une figure plus complexe. Toutefois, la progression montre que ce qui semble essentiellement visé, dans les constructions de symétriques, est la maîtrise de la construction du symétrique d’un point y compris dans des configurations complexes (i. e. où la configuration n’est pas limitée au point et à l’axe de la symétrie et qui fait éventuellement intervenir des conceptions erronées9, comme par exemple la question b. de l’exercice présenté à la figure 2 pour laquelle nous illustrons la manifestation d’une conception erronée en figure 3, ci-dessous). Les tâches mobilisent donc la transformation entre les niveaux 1 et 2 de Grenier et Laborde, conformément aux programmes. Par exemple, la notion de conservation est abordée dès le premier exercice, c’est-à-dire dans le cas où l’appréhension des figures reste globale, puis elle est retravaillée à l’occasion des constructions de symétriques par la méthode analytique et des tâches de preuve mobilisant les propriétés de conservation (essentiellement celles concernant les angles, les longueurs et dans une moindre mesure les aires).

5) Le jeu entre les paradigmes géométriques (G1 : géométrie perceptive, avec ou sans mesures, et G2 : géométrie déductive)

54Les objectifs du scénario incluent un travail sur le passage à la géométrie déductive G1 (ces termes seront repris dans le chapitre 1 de la partie 3) : d’une part, la structure du scénario semble elle-même sous-tendue par une cohérence théorique liée au concept mathématique ; d’autre part, l’initiation au raisonnement déductif est un objectif important, (les tâches de preuve représentent environ 20 % des tâches du scénario, soit 15 tâches en tout) et elle est explicitement prise en charge dès la première partie du chapitre : une série d’exercices (cf. annexe 2) est en effet prévue pour amener les élèves à justifier un énoncé en utilisant les propriétés d’une figure et à clarifier ainsi les « règles du jeu mathématique » (notamment la non-validité des arguments perceptifs ou de la mesure dans ce type de tâches) ; enfin, même le travail sur les constructions semble être organisé pour ménager la transition vers la géométrie déductive : par exemple, la première tâche de construction du symétrique d’un point sur papier uni est donnée à faire aux élèves alors qu’ils ne disposent que de la définition10 du symétrique d’un point, les élèves doivent donc établir la procédure de construction à partir de la définition : la méthode n’est institutionnalisée qu’après avoir été établie par les élèves. Ce type de travail (réaliser une construction à partir de la caractérisation de la figure) nous semble relever précisément du paradigme G2 alors qu’une tâche de construction consiste souvent, en sixième, à appliquer une procédure sous forme d’algorithme, l’enjeu principal étant celui de la maîtrise des instruments – travail qui relève plutôt de G1. Cela confirme d’après nous que l’enjeu que Martine attribue aux constructions est nettement lié au changement de paradigme plus qu’aux constructions elles-mêmes.

6) Travail sur les conceptions erronées

Figure 3. Construction juste et erronée du symétrique du point B par rapport à (AC) (question b).

55Les conceptions erronées sont prises en compte dans le scénario de Martine, de deux manières. D’une part, certaines tâches favorisent une remise en cause de certaines d’entre elles. La question b de l’exercice présenté en figure 2 peut permettre par exemple, de mettre en cause la conception erronée d’alignement et/ ou celle liée aux axes de symétrie verticaux (comme l’illustre la figure 3). De même, un exercice proposé à la première séance du chapitre est du type « chercher les erreurs » et certaines relèvent de conceptions erronées. En outre, dans les exercices consacrés à la recherche d’axes de symétrie, on trouve de nombreux exemples de figures possédant un centre mais pas d’axe de symétrie, ce qui devrait permettre de travailler sur la confusion avec la symétrie centrale. D’autre part, les cas particuliers avec axes horizontaux et verticaux ne sont pas surreprésentés, sauf dans la deuxième partie (qui traite des axes de symétrie de figures) : les figures géométriques usuelles sont présentées dans des positions stéréotypées (le rectangle a ses côtés parallèles aux bords de la feuille, par exemple) et les dessins figuratifs sont tels que les axes de symétrie sont presque tous horizontaux et verticaux. Or Grenier avait pointé lors de l’étude des conceptions erronées liées aux axes verticaux et horizontaux, que c’est dans le cas des figures qu’elles se manifestent le plus et non dans le cas du travail sur les points. Cela expose au risque évoqué précédemment, de traiter l’aspect statique sur un plan quotidien (purement perceptif : « un axe de symétrie est une droite qui coupe la figure au milieu ») et de renforcer les conceptions erronées liées à ces cas particuliers. Enfin, dans la troisième partie du scénario où le travail porte complètement sur le concept mathématique dans un cadre G2, on ne trouve plus aucune figure particulière. Le fait de les ignorer a probablement des conséquences : soit cela fait cohabiter des conceptions fausses liées à des cas particuliers avec des conceptions justes, les unes ne se révélant pas dans les mêmes conditions que les autres, soit cela permet un réel dépassement des conceptions erronées par les élèves, ceux-ci n’étant plus amenés à les mobiliser. En fait, on peut penser que l’effet est variable selon les élèves et les tâches. En prenant le cas de la transformation d’un demi-plan dans un autre, il nous semble que le fait que le travail soit centré sur le concept mathématique et le nombre important de tâches dans lesquelles cette conception est remise en cause peut permettre de la dépasser.

7) Organisation des exercices

56Les exercices prévus par Martine sont organisés, dans chaque partie du scénario, du plus élémentaire au plus complexe Par exemple, les exercices contenant des tâches de preuve sont progressifs de plusieurs points de vue : ils contiennent de plus en plus de tâches, un seul type de tâche par exercice au début puis plusieurs (mélangeant construction et preuve), et les tâches de preuves nécessitent elles-mêmes de faire intervenir progressivement plus de connaissances, éventuellement en mélangeant ancien et nouveau, et avec de plus en plus d’adaptations, elles-mêmes de plus en plus difficiles : il s’agit progressivement de configurations plus complexes, d’utiliser plusieurs propriétés pour une seule tâche de preuve etc. Par exemple, l’un des exercices de Martine consiste notamment à prouver que le triangle formé par deux points symétriques par rapport à un axe et un point de l’axe est isocèle, ce qui fait intervenir non seulement la propriété de conservation des longueurs, mais aussi la définition du triangle isocèle. Cette tâche contient davantage d’adaptations que les questions c. et d. de l’exercice présenté en figure 2 et elle intervient après.

57Notons que la plupart des exercices sont prévus pour être traités en classe, avec une phase de travail individuel. Le travail à la maison consiste essentiellement à effectuer des tâches de même nature que celles traitées à la séance précédente, c’est-à-dire un entrainement, excepté un exercice un peu plus complexe, demandant davantage de recherche et de rédaction, mélangeant des connaissances anciennes et nouvelles, des tâches de preuve et de construction à un moment du scénario où peu d’exercices de ce type ont encore été traités.

58Le scénario de Martine nous semble donc essentiellement organisé autour du changement de paradigme géométrique et de l’initiation au raisonnement déductif, ainsi que d’objectifs conceptuels avancés : ce qui est visé est clairement le concept mathématique – même s’il reste une ambiguïté dans la deuxième partie – et le lien entre les différents aspects.

Conclusion

59En nous inspirant des propriétés du scénario de Martine, nous formulons donc l’hypothèse que, dans une logique d’organisation globale des contenus de la géométrie et d’initiation au changement de paradigme géométrique en sixième, un scénario sur la symétrie orthogonale, pour être potentiellement efficace, doit remplir les conditions suivantes ; celles-ci sont exprimées sous forme de « lignes directrices » qui restent à traduire en types de tâches et déroulements appropriés.

60Viser un niveau de conceptualisation de la notion suffisamment proche du concept mathématique : cet objectif suppose d’introduire en premier l’aspect dynamique et de le redéfinir sans l’outil pliage ; de redéfinir l’aspect statique comme invariance dans la transformation ou, au moins, d’établir le lien entre les deux aspects, par exemple par des tâches où il s’agit de compléter une figure pour qu’elle admette un axe de symétrie. Il convient en outre de ne pas travailler systématiquement avec des figures uniques pour l’aspect statique et des figures doubles pour l’aspect dynamique.

61Respecter une certaine cohérence du scénario du point de vue des paradigmes géométriques : à cette fin, il importe notamment que les constructions soient travaillées avec leur justification, en lien avec les propriétés qui les sous-tendent. En outre, l’initiation à la résolution de tâches de preuves doit être organisée par une suite de tâches spécifiquement conçues et graduées, permettant l’explicitation progressive des termes du nouveau contrat. Articuler de manière cohérente exercices et leçons à la fois du point de vue du contenu, mais aussi du jeu sur les paradigmes géométriques et du niveau d’appréhension des transformations.

62Viser explicitement la remise en cause des conceptions erronées, en particulier celles liées à la transformation d’un demi-plan dans un autre et aux axes horizontaux et verticaux. La remise en cause de la première n’est pas indépendante du fait de viser le concept mathématique dans la mesure où il s’agit d’une condition nécessaire à la redéfinition de l’axe de symétrie par l’invariance ; la remise en question des conceptions erronées n’est pas non plus indépendante du fait de centrer le travail sur le concept mathématique. Autrement dit, il est indispensable d’intégrer au scénario non seulement des tâches spécifiquement prévues pour susciter une remise en cause des conceptions erronées, y compris sous la forme d’erreurs à expliciter, mais aussi des tâches faisant appel au concept mathématique rendant impossible leur mobilisation (en particulier, éviter une surreprésentation des axes horizontaux et verticaux, notamment dans le travail sur les figures).

63Prévoir l’essentiel du travail en classe avec une part non négligeable des tâches dévolue aux élèves et un travail de reprise à la maison. En particulier, le travail individuel ne devrait pas mobiliser un paradigme géométrique, un niveau d’appréhension des transformations ou des adaptations des connaissances différents de ceux mobilisés en classe. Notons que, pour pouvoir appliquer le scénario (comme probablement pour n’importe quel scénario), il faut disposer non seulement des énoncés des exercices et des leçons, mais aussi de précisions sur sa logique (les grandes lignes et les objectifs visés), et de quelques éléments de didactique relatifs aux différents aspects du concept de symétrie orthogonale, aux conceptions erronées des élèves et au changement de paradigme géométrique.

64Tous ces éléments contribuent selon nous, non seulement au développement par les élèves d’activités proches de celles visées, mais aussi à l’accès du plus grand nombre à ces activités. En effet, ils facilitent l’élaboration de liens entre les contenus visés, entre connaissances anciennes et nouvelles, ainsi que l’identification des objets de savoir visés et des « règles du jeu mathématique ». Plus généralement, on retrouve ici la référence aux cadres théoriques de Piaget et Vygostki actualisés aux mathématiques et à la situation scolaire dans nos hypothèses (admises) sur la transformation des activités des élèves en apprentissage : la succession bien ordonnée de moments de travail autonome pour les élèves et de moments (notamment collectifs) permettant à l’enseignant de repérer leurs connaissances, et de les aider à transformer ce qui est ‘presque là’ en connaissances, en s’appuyant sur des proximités, des explicitations et un discours métamathématique (Robert et Robinet, 1996).

65Enfin, certaines de ces caractéristiques ont une portée qui dépasse le seul enseignement de la symétrie orthogonale, mais notre travail nous a permis de les spécifier à cette notion.

Section 2 Un autre exemple de relief sur une notion mathématique : l’algèbre élémentaire11

66Il s’agit pour nous d’illustrer ici, sur un contenu précis, la recherche du « relief » en algèbre, très utile à un formateur et d’en esquisser des utilisations pour l’enseignement12. En effet, pour alimenter les analyses de tâches, à un moment donné du cursus, une partie du travail consiste à regarder de plus près une notion, ou un ensemble de notions, ou même tout un champ mathématique, dans son développement historique, pour préciser ce que recouvrent les savoirs en question. La nature de ces savoirs, la place des notions, leur utilisation au fur et à mesure du développement contribuent à faire comprendre les choix des programmes, y compris à travers leurs évolutions, ce qu’ils contiennent et éventuellement ce qui manque. Les difficultés des élèves, ou du moins ce qui en est connu, complètent ce que nous appelons le « relief » sur les notions visées par l’enseignement. Ce travail contribue également à enrichir la palette des possibles et à apprécier les scénarios, voire à les élaborer. On a besoin en effet pour cela de prendre en compte les connaissances à engager par les élèves sur un champ donné, en relation avec le degré de conceptualisation visé. Cela met en jeu les types de problème adaptés, les cadres et registres impliqués, en relation avec la variété de tâches à envisager et leur cohérence. Certes les manuels contribuent à alimenter ce travail de l’enseignant mais déterminer le relief les complète utilement, en donnant des moyens d’en faire la critique. Même si le déroulement des séances est encore une autre histoire qui pèse sur l’élaboration des scénarios...

67Beaucoup de livres présentent l’histoire du développement lent et sinueux de l’algèbre, de Diophante à Viète et Descartes en passant par les mathématiciens arabes qui ont donné son nom à l’algèbre (par exemple une synthèse très élémentaire est présentée dans Dahan et Peiffer (1986)13. On peut dire qu’au début l’algèbre se développe comme une méthodologie (règles et recettes) dont l’objet reste la théorie des équations, jusqu’au début du XIX^e siècle. Peu à peu s’introduisent des systèmes de notations, des opérations et du calcul algébrique et les ensembles sur lesquels on travaille s’élargissent : des entiers aux rationnels positifs et à leurs extensions quadratiques et quasiment aux réels, puis aux négatifs et aux complexes.

68Nous n’en dirons pas plus ici et commencerons notre présentation par les autres éléments pris en compte pour établir le relief : les programmes et les difficultés des élèves. Nous en déduirons des questions didactiques spécifiques et indiquerons quelques pistes de réponses.

I. Les programmes, les instructions, les difficultés des élèves

1) Programmes actuels – le champ de l’algèbre élémentaire

69Étudier les programmes et leur évolution peut être éclairant sur ce qui se passe actuellement. Nous donnons en référence (Coulange, 2001) un article exposant l’évolution historique de l’enseignement de l’algèbre.

70Dans les programmes actuels (2002, 2008), le champ mathématique concerné par l’algèbre comprend :

• Le calcul littéral (dimension symbolique) : expressions algébriques, opérations, etc. L’introduction se fait progressivement : recommandation de mettre en place un répertoire de formules en sixième, utilisation et production des expressions littérales, transformations simples d’écriture et initiation à la notion d’équation en 5^e. Le calcul littéral apparaît plus explicitement dans le programme de 4^e où un paragraphe lui est consacré ;

• les mises en équations ;

• les résolutions d’équations et d’inéquations ;

• – l’expression des fonctions.

71Du côté des objets mathématiques en jeu, on trouve les lettres (nombres généralisés, (inconnues, variables, paramètres), les expressions algébriques et formules, les identités, les équations (même si elles ne sont pas définies), la notion de fonction, avec les différents registres (écritures littérales, langue naturelle, graphiques, notations fonctionnelles). Du côté des outils et du champ des problèmes, et en conformité avec les documents d’accompagnement récents, on trouve des problèmes arithmétiques, comme la recherche de nombres inconnus vérifiant des relations, souvent avec un habillage extra mathématique, et des problèmes numériques nécessitant une généralisation. S’y ajoutent des recherches de preuves, y compris numériques ou géométriques (sur les mesures), et des expressions de relations générales. Pour ces problèmes le caractère ostensif lié aux écritures algébriques peut être utilisé comme preuve.

72Par exemple, pour montrer que la somme de deux nombres entiers impairs consécutifs est divisible par 4, l’écriture algébrique suffit, en revanche pour montrer que c’est la différence de deux carrés, on doit recourir à des relations générales. Ainsi 2n +1 + 2n + 3 = 4n + 4 = 4 (n + 1)… est divisible par 4. Cela se voit à qui sait voir… Ou encore : 2n – 1 + 2n + 1 = 4n = (n + 1)² – (n – 1)²… Cela se voit à qui sait choisir les bonnes écritures et sait voir…

73On trouve aussi des problèmes liés à une modélisation intra-mathématique ou externe, non seulement des inconnues mais aussi des paramètres (variables connues devenant des lettres), nécessitant la production d’équations ou de formules.

74Enfin on peut rencontrer des problèmes algébriques, des problèmes fonctionnels, et des problèmes autres où il y a un jeu de cadre avec l’algèbre (signe, tableaux…). Par exemple : Pourquoi (x + 5)² est-il supérieur ou égal à 10x pour tout x ?

75On peut donc distinguer des degrés différents d’implication de l’algèbre allant de la simple introduction d’une lettre à l’utilisation de formules, puis à la production de formules, jusqu’à la modélisation algébrique et à des productions de preuve.

2) Évolution des programmes depuis les années soixante

76Au début des années soixante (1960), l’algèbre était enseignée pour elle-même, puis en réaction à la réforme des « Mathématiques modernes », on a introduit un compromis entre l’algèbre pour elle-même et l’algèbre outil pour résoudre des problèmes qui peuvent se résoudre par l’arithmétique. Cependant, jusqu’en 2008, les programmes et les manuels prévoient peu de mise en relation explicite entre arithmétique élémentaire et algèbre (par exemple, faire une vérification numérique d’un calcul algébrique). On trouvait fréquemment dans les manuels de seconde dans des chapitres traitant de la résolution d’équations du premier degré à une ou deux inconnues des exercices qui auraient pu être résolus par l’arithmétique14 mais sans que cette relation soit mise en évidence. Les nouveaux programmes en revanche insistent sur l’intérêt de proposer des types de problèmes qui amènent à utiliser l’algèbre comme outil de généralisation ou de preuve à partir d’une situation arithmétique (l’exemple du carré bordé est assez emblématique – voir note 16). Dans le programme de 4^e de 2008, « l’utilisation du calcul littéral pour prouver un résultat général (en particulier en arithmétique) » est clairement indiqué.

77Pour un certain nombre d’auteurs (notamment Chevallard, 1989), il semble y avoir eu au cours du temps un « effacement » de l’algèbre, qui conduit à une sorte de dénaturation. Cela s’est marqué par l’abandon de l’aspect fonctionnel avec, par exemple, la progression suivante « programme de calcul ou opérations → expressions algébriques → formules », ou encore grâce à la comparaison de programmes de calculs (sont-ils équivalents ?) ou de valeurs. Ce qui est en jeu est la possibilité non seulement de contrôler ses calculs (par recours au numérique) mais encore la possibilité de varier les points d’appui, par exemple à partir des programmes de calculs ou en termes de calculs de mesures de grandeurs (Chambris, 2010). C’est le manque de domaines où introduire l’algèbre pour des besoins de calculs, liés à des questions mathématiques, calculs qui justifient les techniques spécifiques à l’algèbre, qui donne lieu aux critiques de ces auteurs résumées par le mot « monumentalisme » appliqué aux programmes actuels. On peut remarquer toutefois que les nouveaux programmes, et l’utilisation renouvelée des moyens technologiques qui fournissent des occasions nouvelles de travailler l’algèbre, en permettant des modélisations plus riches, en réintroduisant les paramètres de manière non formelle par exemple, peuvent contribuer à un renouvellement des pratiques.

3) Des connaissances sur les erreurs des élèves

78Avant d’examiner les questions didactiques qui se posent, examinons plus précisément quelques erreurs des élèves.

a) Fausse continuité entre arithmétique et algèbre

79L’exemple du prestidigitateur est donné par Grugeon (2000) qui analyse des copies d’élèves montrant la variété des erreurs. L’énoncé est le suivant :

80Prends un nombre, ajoute 8, multiplie par 3, enlève 4, ajoute ton nombre, divise par 4, ajoute 2, enlève ton nombre… tu trouves 7 !

81Nous avons recopié ci-dessous les étapes trouvées sur la copie d’un élève. On y trouve à peu près tous les grands types d’erreurs classiques en algèbre élémentaire :

x + 8 = 8x (disparition du signe opératoire qui n’apparaissait pas en arithmétique dans le résultat à droite du signe égal, 8 + x devient ainsi 8x, car on ne donne pas un processus de calcul comme résultat…)
3 × (8x) = 24 + 3x = 27x (distribution en séparant le nombre 8 de la lettre x par un signe opératoire)
27x – 4 = 23x (même erreur que la précédente, qui apparaîtra régulièrement dans la suite de la copie)
23x + x = 24x
24x : 4 = 6x
6x + 2 = 8x
8x – x = 7

82Dans cet exemple, x est traité comme un nombre mais sans aucun contrôle, sans aucune prise en compte de la spécificité du calcul algébrique qui prolonge le calcul arithmétique mais s’en distingue.

83D’autres erreurs révèlent cette fausse continuité

b) Le statut du signe égal

84On trouve souvent des lignes comme 26 + 2 = 28 + 12 = 40 = etc. Le résultat final pouvant être exact !

85Cette erreur concerne le statut du signe égal et révèle une discontinuité entre arithmétique et algèbre : le signe = est souvent, en arithmétique, l’indication du résultat d’une opération (éventuellement avec une étape) alors qu’il peut aussi signaler une équivalence en algèbre, notamment lorsqu’il s’agit d’une égalité vraie pour tout x même si c’est implicite. L’élève ci-dessus traite ici le signe de l’égalité de façon non symétrique et non transitive, comme on le faisait jusque-là en arithmétique, où il signifiait « ça donne » (représentation renforcée par l’usage de ce même signe sur la calculatrice) et non comme une réelle relation d’équivalence, statut qu’il peut avoir en algèbre, notamment quand x désigne une variable. Si en revanche x désigne une inconnue, le signe égal retrouve son sens de résultat…

86Dans le même ordre d’idée, une autre difficulté vient de l’habitude de trouver le résultat d’une opération. Ainsi les élèves cherchent à donner du sens à a + b, et 5 + x devient souvent 5x.

87Lorsque dans un exercice, la consigne est « Factoriser » certains élèves ne peuvent s’arrêter à l’expression factorisée et continuent en résolvant l’équation-produit qui pourrait être une suite à l’exercice.

c) Confusion entre variable et inconnue positive

88Une variable notée a est toujours une inconnue positive, comme les nombres entiers, encore très prégnants. – a est toujours négatif… confondant le signe de l’opposé avec le signe moins d’un nombre négatif. Cette confusion semble tout à fait préjudiciable dans le travail en sciences physiques15.

d) Modification de l’ordre des opérations en arithmétique et en algèbre

89Prenons un exemple : Déterminer un nombre tel que 5 additionné à deux fois ce nombre donne 35.

90Pour déterminer le nombre on suit des ordres totalement différents selon que l’on raisonne en arithmétique ou en algèbre. En arithmétique on utilise une soustraction (35 – 5 = 30) puis une division (30 : 2 = 15), suivie de la vérification (on raisonne par analyse et synthèse). Tandis qu’en algèbre, où on utilise une lettre pour désigner le nombre cherché, on fait d’abord une multiplication puis une addition 2x + 5 = 35 pour mettre le problème en équation. Cependant la résolution de l’équation utilise les mêmes opérations et dans le même ordre qu’en arithmétique. En bref, le langage n’est pas le même suivant qu’on est en arithmétique ou en algèbre.

91Enfin, toute une série d’erreurs sont attachés au statut même de la lettre en algèbre.

e) Différents usages des lettres (où on retrouve l’influence de l’arithmétique)

92« Il y a 6 fois plus d’étudiants que de professeurs » traduit en « 6 × E = P » où E est le nombre d’étudiants et P est le nombre de professeurs. Il y a là une double difficulté. Une première difficulté à traiter les lettres comme des inconnues à déterminer ou comme des paramètres ou des variables. Une autre difficulté provient dans la mise en équation, ce qui arrive souvent lorsque le problème n’est pas « congruent » au niveau du sens des opérations : il y a non congruence entre la formulation en langue naturelle et la formulation mathématique. Cette difficulté arrive dès l’école primaire où pour traduire, Jean a 8 billes, il a 6 billes de plus que Paul, l’enfant écrit 8+6 (ou 6+8) pour trouver le nombre de billes de Paul.

4) Différents statuts de la lettre

93Finalement, suivant les cas, la lettre x a des statuts différents et c’est une cause de difficulté pour les élèves.

94La lettre peut désigner un nombre généralisé pour produire des formules vraies pour tout x et que ce nombre généralisé soit pris dans un ensemble discret ou non, il s’appelle le plus souvent toujours x. L’exemple du « carré bordé »16, tiré du livre de Combier et al. « Les débuts de l’algèbre au collège » (INRP 1996), est donné dans le document ressource pour les classes du collège « Du numérique au littéral ». Cet exemple a été largement repris comme exemple d’utilisation des TICE dans l’apprentissage de l’algèbre.

95La lettre peut aussi être une variable intervenant dans une expression sur laquelle on peut émettre des propriétés. Par exemple, x² + 2 est positif quel que soit le réel x.

96Elle peut désigner un nombre inconnu que l’on cherche à déterminer. C’est le cas dans le processus de mise en équation puis de résolution.

97Suivant les cas, x peut donc désigner un nombre particulier ou désigner une infinité de nombres. Dans l’égalité (x + 2)² = x² + 4x + 4, c’est le contexte qui indique si x désigne une inconnue à déterminer ou s’il s’agit de la transformation d’écriture du premier membre par utilisation des règles de calcul.

98On retrouve cette difficulté lorsqu’on veut tenter de donner une définition de ce qu’est une équation dans les classes de collège.

99Nous joignons deux éclairages complémentaires parmi d’autres, issus de travaux de recherche anglo-saxons ou liés à l’usage des technologies.

Les travaux de Sfard (1991)

100Pour une même notion, on peut avoir deux approches : structurale et procédurale. L’approche est surtout procédurale au collège tandis qu’au lycée, avec l’étude des fonctions, on requiert un usage surtout structural des expressions. Ainsi, par exemple, au collège, pour soustraire on additionne l’opposé : x – ( – 2) = x + 2, mais au lycée : x + 2 a besoin d’être transformé en différence x – ( – 2) pour en trouver le signe dans l’étude du signe d’une dérivée par exemple. Une des thèses de l’auteur est que des approches structurales trop précoces peuvent empêcher la bonne mise en place de l’objet. Nous n’en dirons pas plus, cela nécessiterait des développements trop importants.

Autres travaux liés aux TICE

101Mentionnons également les travaux de Nicaud (Nicaud et aL 2006), notamment autour de l’environnement Aplusix, sur les aspects manipulation formelle (syntaxique) qui montrent différents niveaux de manipulation formelle ; les travaux, comme ceux de Capponi (2000) autour du tableur pour l’enseignement de l’algèbre (voir chapitre 1, partie 3 sur les TICE) et, enfin, les travaux de Grugeon (1997) avec en 1995 une synthèse des travaux de l’époque sur la recherche en didactique de l’algèbre et une définition a priori de la compétence algébrique des élèves. Cette compétence se décline en diverses capacités : capacité à produire des expressions et des relations algébriques pour traduire un problème, à interpréter, résoudre, dans différentes tâches : preuve, résolution, manipulations formelles, capacités techniques d’ordre syntaxique, et interprétations dans divers registres. Sa grille de compétences en algèbre permet d’analyser les programmes, et les profils d’élèves, et est utilisée dans la mise en place de nouveaux logiciels (Pepite et Lingot, Delozanne & Grugeon, 2004) et cela donne lieu à de nouvelles recherches et de nouvelles implantations, la plus récente dans le logiciel Mathenpoche (cf. Sésamath).

II. Questions didactiques - Différentes propositions pour l’enseignement

102Un certain nombre de questions globales se posent à la fois sur le « sens » des notions, sur leur utilisation par les élèves, et sur les tâches à proposer pour provoquer les apprentissages. Ces questions interrogent le didacticien mais aussi l’enseignant et le formateur dans l’idée d’appréciation et/ou d’élaboration du scénario17 pour les élèves à un moment donné du cursus puis du déroulement effectif.

103On peut se demander à partir des éléments précédents, comment la notion peut apparaitre, avec quels statuts outil ou objet, dans quels problèmes peut-elle intervenir (types de problèmes), avec quel niveau de rigueur, et quelles (ré) organisations des connaissances cela implique ? On est ainsi amené à s’interroger sur le degré de conceptualisation visé, faisant intervenir la disponibilité des notions à acquérir sur un ensemble de tâches et l’organisation dans le reste du paysage mathématique des élèves.

104Cela implique aussi de s’interroger sur le « saut » entre les nouvelles notions, liées à l’algèbre, et le déjà-là, notamment l’arithmétique. En reprenant les classifications introduites avant, et compte tenu des programmes, quels sont les types des notions (extension, RAP, FUG), etc.? Comment les introduire en tenant compte de ces caractères spécifiques ?

105Ces questions relèvent de l’interrogation que nous avons déjà eue lorsqu’on est amené à introduire divers types de notions suivant la distance entre l’ancien et le nouveau. Certaines notions par exemple sont des extensions sans apport réel de nouveau (exemple : barycentre en dimension 3 à partir du barycentre en dimension 2). Dans d’autres cas, l’appui sur le connu présente des difficultés, notamment lorsqu’il y a des discontinuités et des ruptures avec le connu, comme c’est le cas pour l’algèbre par rapport à l’arithmétique. L’algèbre n’est pas seulement une extension de l’arithmétique. De nouvelles règles doivent être établies et utilisées, notamment au niveau des règles opératoires, alors même que les opérations en algèbre prolongent celles établies en arithmétique, au niveau du sens. Sur quoi s’appuyer pour introduire les premières notions d’algèbre demeure une question. En revanche le recours au numérique constitue un moyen de contrôle. A partir de ce qui précède, les travaux des didacticiens ont essentiellement consisté à étendre le champ des exercices habituellement proposés en algèbre : mises en équations et résolutions d’équations mais en augmentant la portée des problèmes, avec ou non un départ concret, modélisation et production de formules, problèmes de généralisation et problèmes de preuves.

106Si tous sont d’accord pour penser qu’on ne peut pas se limiter en classe au travail sur les règles (syntaxe), qu’il faut proposer des problèmes tout au long de l’enseignement (source et critère du savoir), les points de vue peuvent être contrastés. Il y a notamment plusieurs pistes de propositions pour les introductions, toujours « partielles ».

1) Une vision globale, organisant les réflexions : un nouveau cadre de travail pour les élèves

107Certains, dont les auteurs, proposent d’évoquer un nouveau cadre de travail algébrique dont les fondements seraient les réels, les objets seraient ceux cités plus haut, et qui se caractérise par un nouveau formalisme (celui de IR(x)) qui unifie et généralise les différents usages de x (variable, inconnue, nombre généralisé, paramètre…). Un tel cadre met en jeu le caractère FUG des notions (formalisatrices, unificatrices et généralisatrices). Rappelons que les notions FUG (comme les espaces vectoriels ou encore la convergence des suites, notions étudiées à l’Université et exemples connus de ce type de notion) sont des notions difficiles à construire pour les élèves car elles introduisent d’emblée ce nouveau formalisme non relayé de façon continue avec ce que les élèves savent déjà. Ici, nous avons de même une notion difficile à enseigner car l’appui sur le numérique ne permet pas de deviner, d’inventer les règles du nouveau formalisme algébrique, et qu’à cela, s’ajoutent des généralisations. En effet : x n’est pas seulement une variable, ni une inconnue, etc. cependant toutes les expressions avec ces « x » différents obéissent aux mêmes règles de traitement d’où le caractère unificateur. En outre, dans le cas de l’algèbre, le caractère généralisateur comporte des « accidents » : fausses continuités et discontinuités (aussi bien du côté « outil » que du côté « objet » comme nous l’avons vu plus haut avec les erreurs des élèves quant à l’usage du signe égal, des opérations, etc. (cf. Kieran 1996). Enfin, le nouveau formalisme produit de nouveaux outils participant à la recherche grâce à son caractère ostensif, comme on l’a vu plus haut, ou parce qu’il inspire des idées par reconnaissance de forme suite à un calcul.

2) Diverses propositions pour les introductions

108Lorsque, en introduction, nous posons la question « à quoi sert l’algèbre ? » dans une discussion avec les étudiants du master, la réponse la plus fréquente est « mettre en équation et résoudre ». Deux points de vue pour une introduction auprès des élèves se dégagent alors.

109Le premier point de vue veut faire percevoir le passage de l’arithmétique à l’algèbre comme plus économique (cf. Combier et al. (1996)) en distinguant la phase de modélisation par la mise en équation de celle de la résolution. On privilégie donc la modélisation par équation dans un cas où la résolution par l’arithmétique ne permet pas de résoudre aisément. Cela peut amener à déléguer la résolution elle-même à un logiciel, par exemple un tableur. Dans cette approche, la résolution à proprement parler peut être mise entre parenthèses.

110L’autre point de vue18 propose de travailler en « interne » : choisir des équations et apprendre à les résoudre de manière « interne » avec un apprentissage de règles d’« actions » (des « transpositions »). Le travail sur les vérifications (Houdebine, 1991) dans les mises en équations procède aussi d’un travail « interne ». Choisir des mises en équation simples provoquant des résolutions mettant en jeu successivement des règles algébriques choisies (addition ou soustraction d’une même expression aux deux membres d’une égalité ou d’une inégalité, etc. - distributivité simple - associativité), puis travailler ces règles.

111Une autre piste semble exploitable. Elle concerne le travail sur les grandeurs. En effet, dans les programmes actuels, le recours au numérique est privilégié pour contrôler un résultat. Si on travaillait davantage sur les grandeurs19, on pourrait s’appuyer sur ces connaissances antérieures pour donner du sens ou servir de contrôle à certains calculs algébriques. Par exemple, la longueur en centimètres d’un segment obtenu à partir de deux segments adjacents portés par une même droite, dont les longueurs mesurent respectivement 4,5 cm et x cm est 4,5 + x. Cependant il reste que, dans un jeu de cadres avec des grandeurs, les lettres représentent le plus souvent des nombres positifs, ce qui peut plus tard gêner les physiciens notamment.

3) Sens/technique, tout au long de l’enseignement

112Une autre discussion sur l’algèbre (du côté de la théorie de l’activité, de la dialectique outil/objet, du travail sur les registres (Vergnaud 1988), Douady (1986), Kieran (1992), Duval (1988)) concerne son emploi comme outil. Dans tous les cas, il s’agit de travailler sens et technique mais selon des organisations différentes.

113Ces travaux utilisent la dimension outil/objet et jeux de cadres, pas seulement arithmétique/algèbre, mais aussi graphique/algèbre, géométrique/algèbre, ainsi qu’un travail sur les passages entre cadres et registres. Certains mettent en avant l’intérêt de faire rencontrer des résolutions d’équation du type ax + b = cx + d, difficiles à aborder avec la seule arithmétique. D’autres évoquent un travail métaphorique avec une balance pour rappeler les équivalences entre plusieurs égalités (ne devant pas changer l’équilibre).

4) Du côté des programmes, des AER et des PER

114Enfin, le point de vue de Chevallard (1989, 2004) constate et déplore la disparition dans les programmes de la dialectique Arithmétique/Algèbre, et l’illusion de la transparence du passage arithmétique-algèbre. Le calcul algébrique devient formel sans lien avec un emploi (même dans le domaine numérique ou fonctionnel) et ne sert pas. Pour que l’algèbre serve, il serait nécessaire de restaurer la dialectique numérique/algébrique, quand l’algèbre permet de démontrer des propriétés, et d’instaurer différents emplois de l’algèbre. Pour Chevallard la clef du succès de l’algèbre n’est pas de désigner les inconnues par des lettres mais de désigner aussi par des lettres les quantités connues (les paramètres), variables du système dont les valeurs sont supposées connues. Il s’agit donc d’apprendre à produire les formules, à les résoudre et à produire des fonctions. Les chercheurs qui travaillent dans ce sens produisent de nouveaux scénarios, initiés par des AER (activités d’étude et de recherche), élaborées à partir de grandes questions qui peuvent mobiliser les élèves, et se continuant avec des PER – véritables parcours d’étude et de recherches, distincts des programmes, mais amenant à rencontrer autrement les notions du dit programme.

5) Introduire les TICE

115Ajoutons à ces points de vue, les travaux sur l’algèbre liés aux TICE, comme par exemple ceux de Capponi (2000) proposant le tableur, technologie prétexte aux manipulations algébriques, comme un intermédiaire entre arithmétique et algèbre et un outil potentiellement favorable à donner du sens aux concepts algébriques. Nous développerons plus avant ce point de vue dans le chapitre sur les TICE (cf. partie 3, chapitre 1).

116Rappelons que l’annexe 1 du chapitre suivant complète cette exposition rapide par la présentation du résumé critique de quelques articles sur l’enseignement de l’algèbre élémentaire.