1. Cadre théorique

1Pour répondre à nos questions concernant les pratiques des enseignants, nous utilisons des éléments du cadre théorique de la « double approche didactique et ergonomique » (Robert & Rogalski, 2002 ; Robert, 2008). L’approche est didactique au sens où elle analyse la pratique de l’enseignant en lien avec les objectifs d’apprentissages qu’il détermine pour ses élèves ainsi que les moyens qu’il utilise dans les préparations et dans la mise en œuvre des séances, pour les atteindre. L’approche est ergonomique au sens où elle considère l’enseignant comme un professionnel, exerçant un métier avec des compétences et des représentations personnelles, pour atteindre des buts professionnels particuliers en tenant compte des contraintes liées à cette activité professionnelle.

2Robert et Rogalski proposent cinq composantes pour analyser l’activité de l’enseignant :

• les composantes sociale et institutionnelle permettent de définir les contraintes liées à la profession ;

• la composante personnelle renseigne sur les propres représentations de l’enseignant sur la tâche qu’il a à accomplir, sur, par exemple, l’enseignement des mathématiques ou les mathématiques en général ;

• la composante médiative concerne l’ensemble des choix de l’enseignant faits avant la séance concernant les contenus, les progressions à adopter, le déroulement à prévoir ;

• la composante cognitive s’intéresse aux choix faits pendant la séance pour orienter le travail des élèves et faire avancer cette séance vers un objectif d’ap-prentissage.

2. Méthodologie de recueil de données

3Nous étudions, depuis deux ans, les pratiques de six enseignants de cycle 3. Parmi eux, nous choisissons de présenter dans cette communication, des résultats concernant deux d’entre eux. Il s’agit de E1 et E2. Tous les deux enseignent depuis plus de cinq ans dans des classes de CM2 ou des classes de double niveau CM1-CM2 avec des élèves de huit à dix ans, et ce depuis également plus de cinq ans, dans la même école.

4Ces enseignants sont choisis, après un premier entretien, parce qu’ils disent proposer régulièrement des « problèmes ouverts », en mathématiques, à leurs élèves.

5Tout au long d’une année scolaire, les séances portant sur ces problèmes sont observées, filmées, puis transcrites. Notre observation se fait de manière naturelle au sens où nous n’intervenons ni dans le choix des énoncés ni dans l’organisation des séances.

6Des entretiens ainsi que des échanges par courrier électronique ont lieu avant chaque séance afin de recueillir des informations sur les attentes, les objectifs de l’enseignant, les choix qu’il fait pour la séance. Des échanges ont lieu également après chaque séance, afin d’obtenir les réactions de l’enseignant sur les réussites des élèves, sur les difficultés rencontrées et de faire le point sur ce qu’ils ont appris lors de la séance. Concernant les renseignements collectés lors des entretiens, nous supposons que l’enseignant nous fait part réellement de ces représentations personnelles, et non de ce qu’il croit être nos attentes. Et surtout, nous comptons sur le croisement de plusieurs entretiens, tout au long de l’année, pour nous permettre de les approcher au mieux.

7Pour obtenir des réponses concernant les apprentissages des élèves, nous gardons leurs différents travaux écrits (brouillons, affiches) et nous enregistrons les échanges entre les élèves lorsque des travaux de groupes sont organisés.

8Nous passons également en revue les ressources raisonnablement disponibles pour des enseignants du cycle 3 : les programmes scolaires, les documents d’accompagnement de ces programmes, les manuels usuels de l’élève et de l’enseignant, quelques revues pédagogiques et quelques sites internet.

3. Méthodologie d’analyse des données

9Au fur et à mesure des observations, les problèmes choisis par les enseignants font l’objet d’une analyse a priori. Nous détaillons notamment les procédures envisageables par des élèves de 8-10 ans. Nous réfléchissons également aux savoirs en jeu dans chacun des problèmes. En nous appuyant sur des travaux existants (Arsac et al., 1988, 2007 ; Douaire et al., 1999 ; Hersant & Thomas, 2008 ; Houdement, 2009), nous établissons une classification des problèmes observés, en fonction des savoirs en jeu. Il peut s’agir de savoirs mathématiques curriculaires et de savoirs méta. Par savoirs méta, nous reprenons la caractérisation de Robert et Robinet (1996), précisant que ces savoirs désignent

des éléments d’information ou de connaissances SUR les mathématiques, sur leur fonctionnement, sur leur utilisation, sur leur apprentissage, qu’ils soient généraux ou tout à fait liés à un domaine particulier.

10Les éléments obtenus lors des entretiens, tout au long de l’année scolaire, sont classés selon les cinq composantes définies plus haut. Cette organisation des données nous permet d’obtenir des réponses aux questions concernant les raisons qui poussent un enseignant à proposer des « problèmes ouverts », mais aussi à comprendre, par exemple, pourquoi ces enseignants font tel ou tel choix d’énoncés, pourquoi ils prévoient telle ou telle mise en œuvre dans la classe.

11Chaque séance observée fait l’objet d’une analyse a posteriori. Nous procédons à un découpage par épisodes, en repérant les tâches des élèves et le rôle de l’enseignant. Nous déterminons ainsi, pour chaque épisode, qui a la responsabilité de faire avancer vers la solution et comment évolue cette responsabilité. Ces éléments qui constituent en partie les composantes médiative et cognitive, nous montrent le type de mathématiques que l’enseignant fait rencontrer à ses élèves. Nous pointons en particulier les moments d’institutionnalisation, tout au long de la séance et en fin de séance. Leur contenu, même bref, nous renseigne encore sur les objectifs d’apprentissages que s’est réellement fixé l’enseignant.

4. Résultats

4.1. Pourquoi proposent-ils des problèmes ouverts ?

12La réflexion menée sur les ressources disponibles, sur les injonctions officielles ainsi que sur les différents entretiens, sur l’analyse des problèmes choisis et des séances observées nous permettent de déterminer les raisons qui poussent un enseignant de cycle 3 à proposer des « problèmes ouverts » à ses élèves. Ces raisons sont liées à des objectifs d’apprentissage que les deux enseignants E1 et E2 fixent après lecture des documents présentant les injonctions officielles. Elles dépendent également de leur propre représentation des mathématiques et de l’enseignement des mathématiques.

13E1 et E2 nous disent tous les deux que les programmes de mathématiques pour l’école primaire (2008) insistent sur un enseignement centré sur la résolution de problème.

14Travailler avec des « problèmes ouverts » est pour eux, d’abord une réponse à ces injonctions officielles, un « moyen d’apprendre à résoudre des problèmes », comme le précise E2.

15Lors des entretiens avant chaque séance observée, il semble que, pour E1 et E2, un même objectif se dégage lors de chaque séance. Pour E1, il est de permettre à tous les élèves de « prendre du plaisir à chercher dans le cours de mathématiques ». Pour E2, cet objectif est de « confronter les élèves à la preuve ».

16L’analyse des séances nous permet de détailler l’objectif de chaque enseignant et de voir les points communs ainsi que les différences. Il apparaît que E1 cherche, à chaque fois qu’il propose un énoncé, à réinvestir des savoirs anciens (calcul avec des heures, minutes, avec des fractions, des décimaux, etc.) alors que E2 affirme que dans ce genre de problèmes, les élèves ne travaillent pas des savoirs curriculaires, ce qui implique que les problèmes qu’il choisit ne font appel qu’à des savoirs mathématiques simples pour des élèves de cycle 3 (opérations sur les entiers).

17Pour leur apprendre à chercher, E1 comme E2 choisissent des problèmes tels que les élèves s’engagent dans une recherche en « tâtonnant », en faisant des essais et ajustements pour aboutir à un résultat. Cependant, l’accent n’est pas toujours mis sur la possibilité d’améliorer l’organisation de la gestion de ces essais, comme nous le constatons dans l’analyse des moments d’institutionnalisation chez E1.

18Une différence est malgré tout notable entre les intentions de E1 et celles de E2. En faisant travailler les élèves sur les « problèmes ouverts » qu’il choisit, E2 veut les amener à réfléchir sur la notion de preuve en mathématiques, les synthèses en fin de séance montrent un réel effort dans ce sens, pour amener les élèves à expliquer pourquoi ils sont sûrs d’un résultat. E1 n’évoque jamais cette idée de preuve. Lors des synthèses finales, il se contente de faire vérifier les résultats annoncés par les élèves ; quelquefois, c’est même lui qui valide ou invalide certains résultats. Les représentations personnelles de E1 et E2 sur l’enseignement des mathématiques sont en jeu ici. E1 propose des problèmes pour préparer les élèves au collège, où d’après lui, ils seront amenés souvent à résoudre des problèmes et à chercher seul. E2 quant à lui, veut que ses élèves sachent ce que sont les mathématiques qu’ils rencontreront au collège, qu’ils doivent s’attendre à avoir à prouver des résultats. Mais pour les deux, sans avoir réellement travaillé à ce sujet avec des professeurs de mathématiques du collège.

4.2. Quels énoncés choisissent-ils ?

19Directement en liaison avec leurs objectifs d’apprentissage, E1 et E2 choisissent des énoncés de « problèmes ouverts ». Il est à noter qu’un enseignant ne peut pas trouver très facilement de tels énoncés dans les manuels usuels de la classe. Ils doivent le plus souvent faire appel à d’autres ressources.

20E1 en utilisant l’Internet et les moteurs de recherche habituel, souhaite trouver des énoncés amusants pour les élèves, qui vont susciter leur curiosité. Il choisit des énoncés issus de rallyes mathématiques, presque tous semblables au problème « les tonneaux » proposé en annexe.

21E2 a besoin d’un support pédagogique de confiance, dont les problèmes ont été l’objet de recherche ; il choisit des énoncés dans les ouvrages Ermel (CM1 et CM2) et utilise aussi le site RMT1(cité à la fin du document d’accompagnement2de 2003, intitulé « les problèmes pour chercher »). Il choisit des problèmes semblables au problème « la plaque de voiture » proposé en annexe.

4.3. Comment mettent-ils en œuvre les séances ?

22Pendant l’année scolaire, E1 propose au total, six problèmes ouverts à sa classe. Le problème « les tonneaux » est le deuxième (il est proposé le 23 janvier).

23Le travail dans la classe de E2, concernant deux problèmes proposés par l’équipe ERMEL, est mené sur six séances. Pour la suite de l’année, E2 propose deux problèmes choisis parmi les énoncés proposés par le site RMT. Au total, huit séances sont consacrées aux problèmes ouverts. Le problème « la plaque de voiture » est proposé à la septième séance.

24Dans le tableau suivant, nous faisons apparaître le déroulement des deux séances qui sont représentatives des autres pour E1 et E2.

25Ce tableau nous permet de constater que les déroulements des séances sont assez similaires pour les deux classes. Cette façon de faire la classe était proposée et commentée dans le document d’accompagnement (cf. note de bas de page 3) de 2003 ; les deux enseignants y trouvent des avantages et ne cherchent pas à la faire évoluer. En affinant l’analyse du déroulement, nous constatons que, dans les deux classes, les élèves ont la responsabilité de la résolution du problème ; les enseignants ne donnent pas d’indication, de piste, mais attendent réellement des élèves qu’ils cherchent une solution, ce que d’ailleurs ces élèves font pendant la phase de recherche individuelle et de recherche en groupe. Cependant, lorsque nous analysons les temps de mise en commun et les moments de synthèse, nous pouvons déceler des différences.

26E1, qui jusque là était plutôt en retrait, reprend la main sur l’avancée de la séance et oriente la mise en commun très rapidement vers une correction du travail des différents groupes, qui exposent leur solution les uns après les autres, sans trop demander aux élèves de valider ou non les résultats de leurs camarades et, donc, sans leur demander de justifier.

27E2, par contre, organise la mise en commun différemment, sans demander aux élèves d’exposer leur solution les uns après les autres. E2 veut tout faire pour que la réflexion entre les élèves continue, et insiste longuement sur la nécessité de prouver le résultat (mathématiquement ou par une recherche exhaustive bien organisée).

28Cette différence est à mettre en relation avec les différences repérées entre les objectifs annoncés des enseignants.

4.4. Que font les élèves ?

29Pour finir, l’analyse de la pratique des enseignants observés est à compléter par l’analyse de ce que font réellement les élèves pendant les séances. Ils cherchent tous, mais de quelle façon et pour trouver quoi ?

30Là encore, les deux problèmes, « les tonneaux » et « la plaque de voiture », sont représentatifs des autres séances menées par E1 et E2. Nous ne donnerons ici qu’un bref aperçu de cette analyse des travaux d’élèves et, donc, de l’activité des élèves.

31Dans la classe de E1, tous les groupes trouvent une solution correcte par différentes procédures. Deux groupes réfléchissent sur les nombres, puis reviennent au problème issu des tonneaux ; ensuite, ils utilisent une procédure du type PMv (« M » pour une mobilisation de savoirs mathématiques et « v » pour très peu de liens faits avec la vie courante). Les quatre autres groupes partagent des tonneaux en utilisant quelques calculs ; ils utilisent une procédure du type PVm (« V » pour une utilisation forte de connaissances issues de la vie courante et « m » pour très peu de mathématiques).

32Dans la classe de E2, seulement la moitié des élèves trouvent toutes les solutions possibles au problème. Tous mobilisent des procédures du type PMv.

33Les différences observées entre les deux séances ne suffisent pas pour conclure sur une manière de mener la séance qui serait plus efficace pour les élèves. Ces différences sont-elles liées à la difficulté de l’exercice mathématique proposé ? En ce qui concerne les élèves de la classe de E2, qui ne trouvent pas de solutions, auraient-ils mieux menés à bien une recherche avec un énoncé de problème qui permette d’utiliser une procédure du type PVm ? Le travail sur les apprentissages des élèves et donc sur les savoirs qu’ils sont ensuite capables de mobiliser est à poursuivre.

5. Conclusion

34La présentation de cette partie de notre étude montre pourquoi ces deux enseignants proposent à leur classe des « problèmes ouverts » et explique comment les enseignants choisissent les énoncés de problèmes et comment ils les mettent en œuvre dans leur classe.

35Cette présentation amène également d’autres questions, notamment sur les apprentissages possibles des élèves lors de telles séances.

36Nous pensons tout d’abord que nous devons approfondir la réflexion sur le choix des énoncés à proposer aux élèves. Nous voyons bien dans notre étude que, même si les élèves des deux classes cherchent, la qualité mathématique de cette recherche n’est pas la même. En effet, les procédures (du type PMv ou PVm) utilisées par les élèves, qui peuvent être prévues lors de l’analyse a priori du problème et qui sont confirmées lors de l’analyse des travaux d’élèves, montrent que les élèves ne travaillent pas toujours sur des savoirs mathématiques, mais aussi sur des savoirs issus de la vie courante. Ne devrions-nous pas réfléchir à préciser les critères de choix des problèmes afin de déterminer au mieux ce sur quoi les élèves vont le plus travailler ?

37E1 n’institutionnalise pas de méthode, d’outil pouvant être réutilisés par les élèves lors d’une prochaine recherche alors que E2 insiste sur l’organisation de la recherche et la nécessité de prouver son résultat. Nous pourrions penser que les élèves « apprennent plus » avec E2 qu’avec E1. Cependant les recherches en didactique des mathématiques montrent que ce n’est pas si simple, une controverse persiste sur le potentiel de ce genre de séances. En effet, Robert et Robinet (1996) proposent, à l’occasion de telles recherches, de saisir l’opportunité d’enseigner aux élèves des méthodes de résolution, des connaissances méta. Cependant Sarrazy (1997) pense que, même si l’enseignant propose à ce moment-là une méthode, les élèves ne sauront pas nécessairement l’utiliser dans un autre contexte de recherche.

38En l’état actuel de notre analyse, nous ne pouvons trancher sur la question des apprentissages, mais nous avons cependant quelques pistes de réflexion qui permettraient d’éclairer la question. D’après notre analyse, les mises en commun, qui sont menées de manière différente, font que les élèves ne sont pas sensibilisés de la même manière à ces problèmes. E1 les fait chercher, mais valorise le fait de trouver, surtout en fin de séance, tandis que E2 valorise la recherche jusqu’à la fin de la séance, sans forcément trouver. Serait-il possible d’imaginer une manière optimale de mener ces mises en commun afin de permettre aux élèves d’apprendre de la séance passée à chercher ?

39Toutes ces questions pouvant être traitées par la recherche en didactique des mathématiques peuvent également constituer des sujets de réflexion en formation continue d’enseignants afin d’aider les enseignants à améliorer leurs pratiques et, par là-même, les apprentissages possibles de leurs élèves.