1. Résumé - Introduction

1Cette communication concerne la formation des professeurs de mathématiques de lycée et collège ou des étudiants se destinant à ce métier.

2L’étude présentée s’inscrit dans une recherche menée conjointement en sciences de la vie et de la Terre, en sciences physiques et chimiques et en mathématiques, à l’IUFM de Grenoble, dans le cadre du projet européen S-TEAM (Science Teacher Education Advanced Methods) (Grangeat, 2009). Les résultats présentés, portant sur un échantillon de quarante-quatre stagiaires, en formation initiale en 2009-2010, concernent l’évolution de leurs conceptions durant leur année de formation, relativement à l’épistémologie, l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques.

3Nous caractérisons la démarche expérimentale en classe de mathématiques. L’élaboration de l’instrument de mesure et l’analyse des résultats renvoient à la Théorie des situations didactiques (TSD, Brousseau, 1998) et au débat scientifique (Legrand, 1993). Pour l’analyse des réponses, nous considérons aussi l’univers du métier d’enseignant en construction, en référence à la théorie de la double approche (Robert, 2008). Les enseignants débutants développent des pratiques qui évoluent au cours de leur année de formation sans arriver à une stabilité. Des différentes composantes des pratiques - cognitive, médiative, personnelle, institutionnelle, sociale - les deux premières sont à travailler en priorité en formation, en relation avec l’épistémologie. À cet effet, nous proposons une ingénierie de formation fondée sur les situations de recherche en classe (Grenier, 2009).

2. La démarche expérimentale en classe de mathématiques

2.1. Activités en classe de mathématiques, activité mathématique en classe

4À notre sens, beaucoup de tâches données en cours de mathématiques engendrent chez les élèves des activités non mathématiques. Notre modèle tente de différencier celles qui relèvent du mathématique et celles qui s’y opposent. La démarche expérimentale en classe de mathématiques est l’ensemble des gestes, visibles de l’extérieur, propres à un sujet en activité mathématique. Celle-ci relevant d’une dialectique entre preuve et réfutation est mise en œuvre en classe par la construction didactique du débat scientifique (Legrand, 1993).

5Avoir une activité mathématique, c’est, face à un problème, adopter une attitude où s’entrelacent concret et abstrait, particulier et général, techniques et concepts, informel privé et formalisme, imagination et rigueur. L’appropriation du problème et la construction du sens s’appuient sur l’entrelacement de ces aspects différents, voire opposés. Expérimentation et preuve ne sont pas séparées. L’une se nourrit de l’autre. Il s’agit avant tout de comprendre que la plupart des problèmes ne sont pas naturellement mathématiques, mais qu’ils peuvent, par modélisation, donner naissance à des questionnements mathématiques dont les conclusions nécessaires répondent aux problèmes de départ. L’étude de cas simples, mais non triviaux, permet l’entrée dans le problème devenu mathématique, de voir ce qu’il y a de général ou de généralisable derrière le particulier

6Identifier un concept ou définir un objet amènent à simplifier le problème, à formuler des conjectures, dont la résolution passe alors par l’utilisation de telle technique, reconnue pertinente. La mobilisation d’un résultat relève aussi d’une activité mathématique. Ces actions s’accompagnent nécessairement, dans le domaine privé de la personne, de représentations et langage informels, qui deviennent ensuite plus formalisés pour être communiqués à autrui. Il s’agit d’imaginer les cas les plus extrêmes pour mettre à l’épreuve ses conjectures ou de recourir à la logique la plus rigoureuse pour produire des réponses irréfutables. Dans l’activité mathématique se retrouve simultanément la recherche de la vérité (ou du faux) et d’une explication, de la pertinence d’une stratégie ou de son inadéquation. L’explication, la réduction du doute, fonctions constitutives de la preuve, participent de l’expérimentation.

7Pour que l’activité de l’élève en classe puisse être mathématique, des conditions sont nécessaires : choix des énoncés, respect d’un vrai temps de recherche, dévolution d’une responsabilité scientifique à la classe, engagement des élèves, interaction sociale. Le débat scientifique permet une activité essentiellement mathématique, aidant l’élève à se constituer « une solide épistémologie scientifique, à défaut de laquelle se substitue par nécessité une épistémologie purement scolaire » (Legrand 1993). Pour l’élève, il existe en effet d’autres enjeux que la pratique des mathématiques. Se débarrasser de son exercice en appliquant une méthode sans vraiment comprendre, apprendre les définitions ou théorèmes, avoir une bonne note à l’examen en suivant pas à pas les différentes questions de l’énoncé sans s’occuper de la cohérence globale, ces trois enjeux induisent, à notre sens, des activités non mathématiques, bien qu’utiles pour faire des mathématiques.

8L’activité est qualifiée de technique s’il s’agit d’appliquer sans réflexion une méthode, un algorithme, l’objectif étant d’arriver à un résultat. Nous définissons activité d’apprendre au sens d’activité d’étude, l’objectif étant de s’instruire. Il s’agit d’activité scolaire au sens de conformité au contrat, si l’objectif est de réussir à l’école. Apprendre ou utiliser une technique peuvent relever ou non d’une activité mathématique, suivant sa capacité à expliciter la technologie afférente. C’est une activité mathématique si l’on reste vigilant par rapport aux résultats intermédiaires, si l’on contrôle, notamment la cohérence du résultat final par rapport à la question initiale. L’activité d’apprendre sert la pratique mathématique, mais si, ce faisant, on ne s’interroge jamais sur la technologie ou la théorie sous-jacentes, si on n’apprend que pour réussir au contrôle, il ne s’agit pas d’une activité mathématique. L’écart avec l’activité mathématique peut donc être réduit ou très grand. L’activité scolaire favorise la réussite scolaire, parfois au détriment de la réussite mathématique. Par exemple, on doit savoir que, dans un sujet d’examen, si on demande de prouver un résultat, c’est qu’il est vrai et qu’il n’y a pas à en douter. Le doute, lui, est le moteur de l’activité mathématique. Dans un contrôle à l’école, on ne doit pas s’engager dans la recherche d’une question suscitée par le sujet, si celle-ci n’est pas posée explicitement. Cette attitude d’investigation, est, au contraire, encouragée dans l’activité mathématique. On doit savoir repérer, dans un énoncé d’exercice, des indices utiles à sa résolution. Dans la pratique mathématique, l’énoncé du problème n’est pas écrit au départ.

9Cette activité mathématique intègre largement une dimension expérimentale, qui ne se différencie pas du processus de preuve (Gandit, 2008). Aux critères explicités ci-dessus, touchant essentiellement à la personne en activité mathématique et non reconnaissables totalement de l’extérieur, s’en ajoutent d’autres, relatifs à la dimension sociale. Les mathématiques se pratiquent en effet à l’intérieur d’une communauté qui valide ou non ce qui lui est communiqué, qui produit aussi des résultats, les ressources ainsi constituées fournissant un matériau précieux pour la communauté. La recherche documentaire, la communication scientifique de résultats sont ainsi d’autres facettes de l’activité mathématique professionnelle, qui complètent cette démarche expérimentale, tout à fait transposables à la classe.

2.2. Apprentissage de savoirs transversaux

10Les pratiques des enseignants sont « restées relativement stables depuis une trentaine d’années, globalement verrouillées sur des modèles transmissifs » (Bloch, 2009). Les injonctions officielles sont contradictoires, prônant la démarche scientifique dans l’introduction des programmes, mais pas dans la liste des contenus à traiter, qui constitue la référence pour les enseignants. Les élèves n’ont pas réellement accès à la pratique d’une démarche expérimentale, ni, par conséquent aux savoirs transversaux sous-jacents, car les questions qui leur sont posées se rapportent à des connaissances en cours de construction. Or, nous considérons qu’on ne peut comprendre la pratique d’une démarche mathématique réelle que si elle se situe dans un contexte où les connaissances mathématiques en jeu sont simples et maîtrisées. C’est le cas dans les situations de recherche pour la classe (SRC). Dans cette idée que l’investigation doit mener à l’apprentissage des contenus du programme, les injonctions officielles (MEN, 2008a) donnent un canevas d’une séquence débutant par le choix d’une situation-problème. La démarche expérimentale en classe peut aussi viser l’acquisition de savoirs transversaux. C’est l’objet des SRC. Outre l’étude de cas particuliers, la formulation de conjectures, la construction d’une preuve, la réfutation d’une conjecture par un contre-exemple, les SRC visent l’acquisition d’autres savoirs transversaux, absents des programmes : savoir cerner et se poser une question mathématique, se choisir des hypothèses, prendre l’initiative d’une définition, etc. Notre hypothèse est que l’acquisition de ces savoirs crée des conditions favorables à l’apprentissage des contenus.

3. L’outil de mesure des conceptions des enseignants

11L’outil utilisé est un questionnaire, de type Q-Sort (Darley, 1994) sur trois domaines : épistémologie, enseignement et apprentissage. Pour chacun des items, le sondé donne son opinion en cochant une parmi cinq cases : -2 signifie pas du tout d’accord, -1 plutôt d’accord, 0 avis partagé, +1 plutôt d’accord, +2 tout à fait d’accord. La formulation des items relève majoritairement de la caractérisation de l’activité mathématique en classe. Les variables retenues sont la place et le rôle de l’expérimental en mathématiques, des problèmes dans l’apprentissage. Certains items renvoient à l’utilisation de l’informatique, présente aussi dans la recherche en mathématiques. Ils intègrent également l’interaction sociale (empêchée ou favorisée dans la classe, par exemple, dans le cas d’un travail de groupe ou d’un débat scientifique), la responsabilité scientifique (dévolue ou non à la classe, suivant que le cours prend la forme d’un débat scientifique ou d’un cours dialogué), ainsi que le rôle de l’erreur. À ces variables s’ajoute, touchant à l’épistémologique, la hiérarchie dans l’apprentissage entre savoirs transversaux et savoirs de contenus.

12Nous pensons que les enseignants débutants considèrent les affirmations en adéquation ou en contradiction avec les pratiques dans les établissements. Ceci renvoie aux composantes sociale et institutionnelle des pratiques : sociale au sens où, le plus souvent, l’enseignant débutant tente de rendre sa pratique conforme à celles qui, selon lui, enrôlent les élèves et institutionnelle au sens où il pense que c’est ce que lui demande l’institution. Nous pointons un premier élément à prendre en compte dans les résultats sur le questionnaire : les sondés sont centrés sur les composantes sociale et institutionnelle du métier, alors que les items se rapportent essentiellement à la composante cognitive, se référant à un élève, « sujet épistémique, capable d’entrer durablement dans une rationalité mathématique » (Legrand, 1993). Cette hypothèse n’est pas partagée par le stagiaire confronté aux difficultés de gestion de classe. En considérant donc les apprentissages potentiels d’un élève générique, favorisés ou non par telle pratique, nous nous éloignons de la réalité de la classe. C’est un élément important à prendre en compte dans l’analyse des résultats. La composante médiative du métier intervient en effet fortement au sens où les enseignants sont essentiellement préoccupés par l’organisation du travail de la classe. Ceci permet de désigner a priori un second élément important pour l’analyse des réponses. Ces deux éléments sont d’autant plus importants que plusieurs items renvoient à la représentation de ce qu’est un bon enseignement des mathématiques. Or, il n’y a pas de consensus sur ce point dans la communauté didactique. Paradoxalement, on note que l’évaluation de la pratique d’un enseignant ne se fait pas sur les apprentissages réalisés, mais bien plus sur l’enrôlement des élèves et leur réussite aux contrôles, points absents du questionnaire.

13Deux méthodes sont utilisées pour analyser les réponses au questionnaire, proposé à quarante-trois stagiaires, en début (octobre) et à quarante-quatre enseignants, en fin de formation (mai). La première est fondée sur la définition a priori de deux conceptions antagonistes par rapport auxquelles nous évaluons les conceptions des sondés (Gandit et al., 2010). La seconde porte sur chaque item individuellement, à partir de quatre indicateurs (Darley, 1994) qui, associés, précisent la force de l’adhésion ou du rejet : la somme algébrique s des codes, ramenée en pourcentage de la somme maximale possible (soit ST) si s est positif (sinon, en pourcentage de la somme minimale possible), les fréquences (en pourcentage) des réponses strictement positives (P) et strictement négatives (N).

4. Des résultats

4.1. Sur l’épistémologie

14La conception « exp » que les mathématiques intègrent une forte dimension expérimentale, en lien avec la formulation de conjectures et la validation par la preuve, correspond au code +2 attribué aux items A1, A4, A5, A7, A10 et A111 et -2 à A2, A3, A6, A8, A9 et A122. Selon la conception antagoniste (permutation des codes 2 et -2), la démarche expérimentale n’a pas sa place en mathématiques, comme le pensent certains professeurs de mathématiques, qui ne voient l’activité mathématique que comme l’art de démontrer formellement des résultats, à partir de propriétés et règles bien établies. La première méthode d’analyse montre peu d’évolution entre octobre et mai : l’adhésion des stagiaires à la conception exp et le rejet de la conception antagoniste sont forts dès le début de la formation (28/43) et le restent (30/44).

Tableau 1 – Items en rapport avec l’épistémologique

15La seconde méthode permet de préciser que, très majoritairement (évolution de 93 % à 95 % sur A6) dès le début de la formation, les enseignants reconnaissent la place importante de l’expérimentation dans le travail du mathématicien. Néanmoins les avis sont plus partagés à propos de la preuve : beaucoup sont indécis (49 % en octobre, 32 % en mai) par rapport à l’affirmation A8. En mai, les avis exprimés sont également partagés entre ceux qui adhèrent à cet item et ceux qui pensent le contraire. La valeur faible de ST, identique en octobre et en mai (5 %), montre que, globalement, les réponses ne sont pas franchement affirmées concernant l’importance de la preuve dans l’activité du mathématicien. Les résultats par rapport à A11 montrent que l’impact de l’informatique sur la découverte en mathématiques est nettement reconnu et on note la progression par rapport à A12 concernant l’aide de l’informatique dans l’accès aux concepts.

4.2. Sur l’enseignement

16On définit a priori la conception inv qui correspond à la valeur +2 attribuée aux items B1, B3, B6, B10 et B163 et -2 aux items B2, B5, B7, B8 et B134. Suivant cette conception, un bon cours de mathématiques démarre sur un problème et donne à la classe une responsabilité scientifique. Les résultats montrent une évolution, 56 % des stagiaires favorables à inv en octobre et 80 % en mai, la conception antagoniste étant manifestée par un seul enseignant. Les résultats relatifs à B1 et B3, concernant la place première du questionnement initial, montrent que les stagiaires sont majoritairement favorables, mais on note peu d’évolution globale sur les deux items.

Tableau 2 – Items concernant l’enseignement

17Nous pensons que les professeurs stagiaires sont partagés entre les propositions de la formation initiale qui mettent en avant l’importance de cette phase de problématisation pour que vive en classe l’investigation et la composante sociale de leurs pratiques. La difficulté à mettre en place cette problématisation est sans doute aussi à prendre en compte. Au regard des résultats sur B7, l’idée progresse que l’enseignement ne s’organise pas du simple vers le complexe : en octobre, une majorité pense le contraire, en mai, les avis se partagent également, il reste cependant 18 % d’indécis. Outre le frein des composantes médiatives et sociales des pratiques, le temps didactique au niveau de la formation peut expliquer qu’on n’observe pas de changement plus radical, alors que la formation insiste sur ce point.

4.3. Sur l’apprentissage

18En rapport avec les processus de construction des connaissances, la conception, qui attribue +2 aux items B11, B18, C5, C8 et C95 et -2 à C1, C2, C10, C13 et C176, renvoie à une modélisation socioconstructiviste de l’apprentissage. Les résultats montrent une légère évolution au cours de la formation de l’adhésion à cette conception, passant de 40 % à 51 %, celle-ci n’étant rejetée par aucun enseignant et la conception antagoniste ne recueillant qu’un seul suffrage. Cependant la considération du rôle dévolu à l’erreur dans l’apprentissage fait apparaître des résultats contradictoires.

Tableau 3 – Items concernant le rôle de l’erreur dans l’apprentissage

19En effet, si, très majoritairement, les sondés rejettent C2 et acceptent conjointement C5, leur prise de position est plus timide par rapport à C17, qui n’est pas, cette fois, franchement rejetée. Le nombre des indécis augmente par rapport à C17. La question se pose du temps pendant lequel le professeur laisse vivre l’erreur dans la classe. La formation devra permettre d’appréhender l’erreur de façon positive, comme un élément central, non seulement du travail de l’enseignant, mais aussi de celui de l’élève.

20Relativement à la hiérarchisation des apprentissages entre savoirs transversaux et savoirs de contenus, les résultats concernant C4, C12 et C167 peuvent surprendre.

Tableau 4 – Items en rapport avec la hiérarchisation des savoirs

21Si, globalement, la réponse est favorable à chacun de ces items, on note la part importante des indécis. L’adhésion à ces items va en effet à l’encontre des pratiques habituelles. L’institution est partagée sur la nature des mathématiques à enseigner. Dans son établissement, le stagiaire est soumis à cette contradiction. Il est de plus attiré par les pratiques qui parviennent à enrôler les élèves, sans toujours voir si cet enrôlement se situe aussi au niveau de l’activité mathématique des élèves. A notre sens, les composantes sociales et institutionnelles pèsent beaucoup dans ce moment où le métier s’installe. Ceci pourrait expliquer la part importante des indécis dans les réponses à ces trois items, ainsi que la timidité de l’adhésion.

5. En conclusion, une formation fondée sur les SRC

22La part importante des indécis évoquée ci-dessus et la lenteur de la progression sur une année de formation nous amènent à penser une formation au plus près de l’activité mathématique professionnelle, permettant une évolution sur le plan épistémologique, capable de peser davantage par rapport aux pratiques.

23Les enseignants peuvent être réticents à s’engager dans une pratique qui met en jeu des savoirs qui ne leur sont pas familiers. Il ne suffit pas de les mettre en posture de chercher. Ceci doit être négocié. La gestion des SRC demande en effet un changement profond du contrat didactique usuel en classe, celui-ci devant favoriser non seulement l’autonomie dans le choix des questions, des pistes de recherche, mais aussi la responsabilité sur le plan scientifique.

24Nous mettons d’abord les participants à la formation en recherche, pendant un temps court, sur un problème dont les variables sont fixées. La recherche est gérée suivant les modalités du débat scientifique. Ceci permet d’éviter les blocages et favorise l’entrée dans le problème afin que les participants comprennent ensuite des exposés d’élèves relatifs au même problème, à partir d’un film réalisé lors d’un séminaire juniors (séance ultime d’un atelier Maths-à-modeler, où les élèves présentent leurs résultats) ou en participant à un tel séminaire. Cette première partie de la formation, établissant un lien direct entre les SRC et les élèves, montre la faisabilité en classe.

25Par groupes de trois, les participants sont ensuite confrontés (trois séances) à une SRC, les variables de recherche n’étant cette fois pas fixées. À la fin de chaque séance, un échange a lieu entre les groupes sur les résultats obtenus et les stratégies utilisées. Une partie de la troisième séance est consacrée à l’explicitation des connaissances en jeu dans la situation.

26En troisième partie de la formation (quatre séances), on propose une autre SRC, organisée suivant les modalités des ateliers Maths-à-modeler. Une présentation des résultats clôt cette phase, suivie par un débat sur la validité des propositions.

27Enfin une quatrième partie a pour objet les changements du contrat didactique dans la gestion d’une SRC. Lors de certaines phases, le professeur n’est plus en effet la personne qui détient le savoir, il n’a pas la réponse au problème dans toute sa généralité. Il est là pour veiller au travail des élèves, mais il doit aussi être capable de repérer les résultats valides, les conjectures erronées, les stratégies pertinentes qu’il peut inciter à poursuivre en cas de découragement des élèves, etc. Ce qu’il peut ainsi repérer ne doit pas être dit aux élèves pendant la recherche, mais permet les relances et s’utilise lors de l’institutionnalisation. Le rôle de l’enseignant est aussi en effet de mettre en avant les connaissances en jeu dans la SRC, au fur et à mesure de l’avancement des séances, et aussi à la fin du temps de recherche. Enfin, il doit donner des consignes aux élèves, sur l’écriture de la recherche à mesure de l’avancement dans la situation, sur la production finale, sur ce qu’il faut en retenir.

28Une autre modalité de formation pourrait consister en un accompagnement personnalisé des participants, à la fois, dans et en dehors de la classe, cette modalité pouvant d’ailleurs faire suite à la formation décrite ci-dessus. En dehors de la classe, on peut proposer en effet aux enseignants d’échanger, entre eux et un formateur, sur leurs pratiques de mise en recherche des élèves dans le cadre d’un travail collaboratif. Quant à l’accompagnement des enseignants dans la classe, il est pratiqué actuellement par les chercheurs qui aident à la mise en place des SRC dans les classes, dans le cadre des ateliers Maths-à-modeler.