Introduction : la recherche de Deparcieux

1Le premier souci d’Antoine Deparcieux est de fournir un moyen simple de calcul des rentes viagères et des tontines, de déterminer la juste valeur des emprunts tontiniers pour faciliter la fixaion des conditions d’émission. Ceci afin que l’État puisse savoir ce qu’il doit offrir à chaque rentier en fonction de son âge, et chaque rentier ce qu’il doit recevoir en toute équité « actuarielle »1. En cela, il cherche à étendre aux tontines et emprunts viagers de tout type les calculs publiés auparavant par Halley dans « son mémoire […] écrit en Anglois, et […] connu en France que de quelques Sçavans ». Ce dernier, au demeurant, « […] est écrit d’une manière si concise, que quand on le traduiroit en Français, peu de gens pourraient l’entendre ». Deparcieux lutte contre l’idée reçue à l’époque, et dont on peut se demander si elle n’est pas toujours aussi vivace, que tout emprunteur, et notamment l’État, profite de façon indue de l’émission d’une rente viagère dont le service est interrompu avant son terme normal sous l’effet du décès de l’épargnant, oubliant que, dans d’autres cas, le service est prolongé au-delà de la durée « normale2 ». Il lui faut donc être clair et compréhensible par le commun des mortels peu familier des mathématiques, d’où son recours permanent à des exemples et à l’utilisation de tables.

2Comme il l’indique dans sa dédicace, c’est sur les remarques de son protecteur, Monsieur de Boullongne, qu’il a l’idée d’étendre son propos à l’examen des ordres de mortalité et à la recherche de la construction de ce qu’il convient d’appeler la première table de mortalité française, qui constitue dès lors le corps central de son ouvrage ; il l’encadre de deux chapitres de mathématiques financières : un premier « entièrement géométrique »3 consacré à l’étude mathématique des « Rentes à terme ou Annuités », un second, le dernier de l’ouvrage, intitulé « Des Rentes viagères », dans lequel il explique de façon très complète comment déterminer la valeur des rentes viagères et des diverses tontines qui ont été émises jusque-là en France ainsi que la valeur des rentes sur plusieurs têtes, à l’aide des tables qu’il publie à la fin du livre.

I. – Les quatre problèmes

3Le premier chapitre de l’œuvre est organisé de façon très claire : les quatre problèmes principaux que l’on rencontre dans les mathématiques des rentes y sont exposés ; chaque problème est d’abord traité de manière formelle dans les cas simples (un an, deux ans et trois ans), la formule trouvée étant alors généralisée sans que Deparcieux explicite le raisonnement de récurrence que l’on peut penser qu’il a suivi. Deparcieux, de façon très pédagogique, fait suivre cette partie mathématique d’un ou plusieurs exemples qui lui permettent de dérouler le calcul dans des cas particuliers et d’introduire l’usage des tables qu’il a calculées.

4Une première remarque doit être faite : Deparcieux, dans un souci louable de généralité ou plus simplement pour se faire mieux comprendre du lecteur, introduit dans ses formules l’usage courant à l’époque de l’intérêt et du denier de l’intérêt au lieu de recourir, tout simplement, à la notion de taux d’intérêt. On pourrait se demander s’il ne cherche pas ainsi à éviter toute confusion entre la notion de taux d’intérêt et la notion de « taux d’annuité », l’annuité étant définie « en disant qu’on donne tant pour 100 pendant un certain temps, après lequel le débiteur et le créancier doivent rester quittes, tant du capital que des intérêts ».

5Toutes ses formules seront donc écrites en retenant deux inconnues a et b pour désigner, en valeurs monétaires, le fonds a4 et l’intérêt b, qu’il appelle aussi la rente. Et afin d’être le plus clair possible, il n’hésite pas à cette occasion à préciser que lorsque l’on parle d’un intérêt à x %, alors a vaut cent et b vaut x ou toute fraction ou multiple de ces valeurs dans la même proportion. Ce mode de notation est particulièrement lourd, d’autant que Deparcieux n’utilise pas les formules factorisées du type [a + b]ⁿ 5, mais les formules développées en aⁿ + na^n-1 + ⁰nab^n-1 + bⁿ, ce qui en rend la manipulation très malaisée et ne lui permet pas, sans doute à cause de problèmes typographiques, d’écrire la formule générale.

6Les quatre problèmes que se pose Deparcieux sont relatifs à la détermination de ce que l’on appelle aujourd’hui, la valeur acquise et la valeur actuelle, la valeur actuelle d’une rente temporaire et l’annuité constante d’une rente temporaire. Ils peuvent être réunis en deux groupes de problèmes réciproques :

• la valeur acquise par un capital placé à intérêt composé pendant n années et son réciproque, la valeur d’un capital qu’il faut placer à intérêt composé pendant n années pour obtenir un capital donné ;

• la valeur actuelle de la suite des n versements constants d’une rente temporaire et son réciproque, l’annuité constante nécessaire pour amortir, à intérêt composé, un capital en n années.

7Les solutions de ces problèmes sont fournies par les équations actuarielles désormais classiques :

8d’une part,

9avec C_n = valeur acquise de C₀,

10i = taux d’intérêt ;

11et

12d’autre part.

13avec V₀ = valeur actuelle des n versements constants,

14v = versement (ou annuité) constant(e),

15i = taux d’intérêt.

16Chez Deparcieux,

17dans le premier groupe de formules,
V₀ = p, v = r et toujours

18dans le second groupe.

19Enfin n sera pris égal à 1, puis 2 et 3 pour montrer comment le calcul se développe.

20Il manque alors la démonstration par récurrence qui permet de passer de 3 à n quelconque, c’est-à-dire de généraliser, généralisation qui est donnée dans chaque règle exposée. Deparcieux a volontairement omis ces démonstrations pour ne pas « alourdir » davantage sa rédaction ni rendre son texte trop difficile à lire à « ceux qui n’entendront pas le peu d’Algèbre qu’on y emploie ».

II. – Les exemples numériques et la construction des tables

21Après l’énoncé de chaque Règle, Deparcieux propose au lecteur des applications numériques qui vont permettre de montrer comment appliquer la règle dans des cas simples, comment elle est utilisée pour construire les tables qui sont publiées à la fin de l’ouvrage et enfin comment se servir de ces tables pour résoudre un problème de calcul. On remarquera que Deparcieux en profite pour montrer le maniement des logarithmes, en vantant les propriétés de ces nombres et en renvoyant le lecteur aux nombreux ouvrages qui en traitent, et plus particulièrement à son Traité de Trigonométrie auquel il a joint des tables de logarithmes6. De même, il introduit, après les exemples du Problème III, la notion d’« Annuité », qui provient d’Angleterre où l’Etat l’utilise déjà pour ses emprunts, et dont il vante les mérites, puisqu’elle permet de consacrer chaque année une somme constante au paiement des intérêts et à l’amortissement de l’emprunt, jusqu’à ce que l’emprunt soit totalement remboursé.

22Il s’agit tout d’abord pour Deparcieux de mettre l’accent sur une pratique bancaire – encore répandue de nos jours dans les opérations d’escompte commercial – qui prête à confusion et qu’il juge être un « usage ridicule et mal fondé »7. Sa critique porte sur la notion d’intérêt : d’après cet usage, un dépôt ou une créance à 5 % (« sur le pied du denier 20 ») remboursable à 100 livres dans un an vaudra auprès d’un banquier 95 livres, soit 100 livres, valeur de remboursement, moins 5 livres, valeur de l’intérêt annuel calculé à 5 % sur la valeur nominale. En bon « actuaire », Deparcieux montre que ce calcul est faux, car, selon sa table, un billet remboursé 100 livres dans un an vaut, sur le pied du denier 20, 95 livres 4 sols et 9 deniers, et non 95 livres. Par application de la correspondance simple entre le fonds ou denier de l’intérêt, l’intérêt et le taux d’intérêt, le fonds valant 95 livres, l’intérêt 5 livres, l’intérêt est compté sur le pied du denier 19 = 95/58, et le taux d’intérêt est donc de 5/95 = 5,26 %. C’est donc le banquier qui apparaît lésé dans l’opération car c’est lui qui reçoit le dépôt, dans cet exemple, et va donc payer un intérêt réel supérieur à celui qui est convenu. Et ceci est d’autant plus dommageable que, dans le cas d’un dépôt de 100 livres à un an à 5 %, le banquier ne reversera que 105 livres à terme soit sur la base d’un taux d’intérêt réel égal au taux convenu de 5 %. Mais, comme Deparcieux le signale, ce que le banquier ou le financier perd, il le regagne en faisant l’opération inverse, c’est-à-dire en prêtant de même, nous donnant ainsi un bel exemple d’une saine gestion Actif-Passif !

23Le deuxième apport est plus important encore. C’est l’introduction de la notion de facteur ou coefficient d’actualisation qui le conduit à inventer la notion très moderne de zéro-coupon. C’est à l’occasion de la résolution du Problème III et de la construction de la Table III « Des sommes qu’on doit prêter pour recevoir 100 livres à la fin de chaque année, pendant tel tems qu’on voudra jusqu’à cent ans ». Après avoir montré sur deux exemples, et en utilisant la formule factorisée, comment faire le calcul, Deparcieux introduit l’usage de la Table III puis note, p. 16, que cette table se déduit très simplement de la Table II précédente en additionnant les valeurs des prêts à un an, deux ans, trois ans, etc., pris dans cette seconde Table. Dans la terminologie actuelle des marchés financiers, cela revient à dire qu’un emprunt par annuités constantes est la somme des emprunts zéro-coupons d’échéance égale à chaque date de versement de l’annuité et dont la valeur de remboursement est égale à l’annuité constante. À ce stade de son mémoire, cette remarque peut paraître simplement fortuite, mais mise en perspective avec les propos qu’il tient à la fin du chapitre, elle nous éclaire sur l’invention qu’il pressent ; il introduit ainsi la notion d’emprunt zéro-coupon :

« on pourroit encore emprunter, à condition de payer le capital avec les intérêts, et les intérêts des intérêts, de chaque billet ou Action au bout d’un certain tems, comme un an, deux ans, trois ans, quatre ans, etc. […] Mais cette maniere d’emprunter ne seroit pas attrayante ; ceux qui prêtent, n’aiment pas à rester si long-tems sans toucher capital ou intérêts. »

24Il faudra attendre le dernier quart du XX^e siècle pour que cette notion soit introduite sur les marchés financiers par les banques d’investissement anglo-saxonnes et généralisée aux principaux marchés de dette souveraine.

25En conclusion de cette partie et clans le but sans doute d’éclairer son protecteur, Conseiller d’État et Intendant des Finances, Deparcieux propose de nouveaux modes d’émission d’emprunts, faisant preuve ici encore d’une imagination et d’un modernisme remarquables.

26Tout d’abord, inspiré sans cloute par la réussite des tontines dont les titres sont regroupés en classes suivant l’âge des souscripteurs, il imagine de découper un emprunt « classique », remboursé sous forme d’annuités constantes, en plusieurs classes (nous dirions tranches aujourd’hui) qui se distingueraient, non plus par l’âge du souscripteur mais par l’année de remboursement des billets d’une classe. Copiant toujours le mode d’émission des Tontines, il envisage que chaque souscripteur soit libre de choisir sa classe et donc la date de remboursement du billet souscrit, mais, pressentant sans doute la difficulté à trouver assez mais pas trop de souscripteurs pour chacune des classes, il propose immédiatement que l’on ne fixe pas à l’avance quelle action appartient à quelle classe, mais que l’on détermine cela par tirage au sort, aussitôt l’emprunt effectué. Et plutôt que de tirer tous les numéros des titres d’une classe, il suggère que l’on retienne les numéros suivants jusqu’au nombre requis pour chaque classe, et ainsi de suite. Ces solutions inédites seront mises en œuvre ultérieurement dans l’émission des emprunts, en particulier au xix^e siècle.

27Deparcieux conclut alors ses travaux par la publication d’une cinquième Table qui dresse le tableau d’amortissement d’un emprunt divisé en coupures et remboursable par annuités « à peu près » constantes. En effet, les problèmes d’arrondis liés au calcul empêchent, comme il le remarque, d’obtenir des annuités exactement constantes.

III. – Les calculs des rentes viagères et des tontines

28Dans la troisième partie de l’Essai, Deparcieux aborde enfin ce qui devait être le sujet principal de ses travaux, la détermination de la valeur des rentes viagères et des tontines. Il dispose maintenant de tous les outils nécessaires, mathématiques des rentes et des annuités, d’une part, table de mortalité, de l’autre.

29Deparcieux part d’un groupe de rentiers qu’il suppose âgés de 52 ans et qui vont tous bénéficier d’une rente temporaire viagère de 100 livres pendant cinq ans. La lecture de la Table de mortalité lui donne le nombre de survivants année après année, soit, à chaque échéance, le nombre de bénéficiaires des 100 livres de rente. Appliquant la formule des tontines, Deparcieux considère alors que tout rentier décédé l’année n a vécu jusqu’au milieu de cette année, ayant autant de chances d’être mort en début d’année qu’en fin d’année, et est donc en droit de recevoir la fraction d’annuité correspondante, c’est-à-dire la moitié. Les paiements de l’année n devront être effectués auprès des survivants à la fin de l’année n, augmentés de la moitié des décédés au cours de n. Le tableau 1 reproduit ces calculs.

Tableau 1. – Calcul des rentes viagères

30Après cet exemple, il devient plus facile de comprendre le mode de calcul plus général appliqué aux rentes viagères en cas de vie, payées jusqu’au décès du bénéficiaire, ce que fait Deparcieux en signalant qu’il a constitué ainsi sa Table XIV. La Table XV se déduit de la précédente par une règle de trois permettant de ramener le capital constitutif d’une rente payant 100 livres par an à un capital ou fonds initial de 100 livres.

31Par comparaison de la Table XIV avec les résultats de la première page de la Table III qui donne le montant d’un prêt remboursable à raison de 100 livres par an et sa durée, Deparcieux déduit une équivalence entre une rente viagère et un prêt amortissable par annuités constantes (selon la terminologie moderne), ce qui le conduit à préciser la notion de rente viagère et à réfuter les idées courantes selon lesquelles le capital resterait à celui qui paye la rente. Son raisonnement est assez curieux et mérite qu’on s’y arrête. Tout d’abord, Deparcieux remarque que si l’on paie une rente c’est que l’on rembourse un prêt que l’on a reçu. Ce prêt a été employé et a fructifié à un taux comparable au taux des rentes perpétuelles, disons 5 %. Or, le payeur verse plus de 5 %, comme le montre la colonne correspondant aux intérêts au denier 20 de la Table IV, et ce même à 100 ans. Le payeur verse donc au prêteur, en plus de l’intérêt, un montant qu’il n’a pas gagné et qui ne peut donc être que du capital qu’il rembourse. Et ainsi, comme le démontre Deparcieux dans le cas des annuités, les versements d’intérêts diminuent avec le temps, portant sur un capital décroissant, cependant que les versements de remboursement augmentent9. Ce raisonnement paraît de même nature que le raisonnement très courant aujourd’hui, car à la base de la théorie moderne du portefeuille, il y a le principe de l’absence d’opportunité d’arbitrage10, selon lequel il ne saurait y avoir de gain ou perte « non fondés » dans une opération financière. Deparcieux apparaît ainsi comme un des grands précurseurs de la finance moderne.

32Deparcieux développe ensuite les méthodes de détermination de plusieurs types d’emprunts ou de prêts, Tontines simples ou composées, Loteries, rentes sur plusieurs têtes etc. Pour cela, il a recours à des tables, les Tables XVI et XVII, dont il omet de décrire le mode d’établissement, qu’il se contente de qualifier d’« aisé ». Un rapide calcul montre qu’il utilise pour chaque classe les valeurs des arrérages de la Table XV, correspondant au centre de classe, c’est-à-dire 3 ans pour la première, puis 7, 12, etc., pour les suivantes, le tout multiplié par 3 pour tenir compte de la valeur de l’Action de 300 livres.

33Deparcieux se livre alors à une série de raisonnements, ou plutôt de constatations, qui le conduisent à décider que le terme de chaque classe d’une tontine (du type de celles de 1689 et 1696) correspond à l’âge de 92-93 ans atteint par les souscripteurs, ce qui revient à fixer la durée de versement des rentes pour chaque classe – qu’il y ait ou non des subdivisions – respectivement à 90, 85, 80 ans, etc11. Les arrérages s’en déduisent à la Table XVII par application des résultats de la Table IV, en fonction de l’intérêt retenu. Deparcieux ne peut alors s’empêcher de remarquer que les « donneurs de projet » auraient pu faire ce raisonnement lors de l’émission des premières tontines et en calculer ainsi la durée maximale et donc l’arrérage en fonction de l’intérêt versé.

34La suite du chapitre est consacrée à des développements sur les autres formes de tontines y compris les rentes constituées sur deux personnes qui sont une version réduite à deux souscripteurs d’une tontine. Puis Deparcieux s’intéresse à une forme de placement particulièrement avantageuse mais un peu mythique : les rentes de la banque de Venise qui était réputée payer des rentes égales aux fonds versés à la naissance aux enfants survivants à partir de l’âge de 10 ans. Après avoir vérifié que ces rentes n’ont en fait jamais existé, il démontre que ce type de placement aurait été désastreux pour la banque. Il calcule le nombre d’années qu’il convient d’attendre, en plaçant un fonds souscrit par un groupe, pour servir ensuite à la population des survivants une rente viagère égale à ce capital. Il s’agit de résoudre une équation implicite ; pour y parvenir et constituer ainsi la Table XXI, il procède par approximations successives. On lit dans la table que, pour la classe de 0 à 5 ans, il convient d’attendre environ 43 ans, soit bien au-delà des 10 ans supposés dans l’imagination populaire.

35L’Addition à l’Essai, publiée en 1760, va lui permettre de préciser ces calculs et d’inventer une nouvelle forme de placement, la rente viagère différée (Tables I, II et III), introduisant ainsi de manière prémonitoire la pension de retraite ; cela fait de Deparcieux un des pères de la prévoyance sociale développée ultérieurement. Il s’agit de constituer un capital qui sera placé à intérêts composés jusqu’à être converti en une rente viagère immédiate :

« Cette sorte de rente pourrait être très commode au Public : tel homme qui travaille, & qui peut encore travailler, mettrait là une partie de ce qu’il auroit économisé, & laisseroit croître sa rente jusqu’à ce qu’il eût besoin d’en jouir. »

36C’est là, tout simplement, la définition d’un système de retraite de fonds de pension par capitalisation !

Conclusion

37Ainsi, dans cet ouvrage, Deparcieux fait à la fois œuvre de théoricien et de praticien. Après avoir élaboré la théorie mathématique des rentes viagères et des tontines, il applique ces résultats à des cas concrets. Il invente ou suggère l’invention de nouveaux « produits financiers » à même de mieux satisfaire les besoins des emprunteurs comme des prêteurs. Il montre comment adapter la théorie à la réalité par un ensemble de raisonnements qui s’apparentent à la démarche actuarielle telle qu’elle se développera dans le courant du xix^e siècle. Il peut, à juste titre, prétendre au titre de premier actuaire français.