Des Rentes à terme, ou Annuités
p. IX-XL
Texte intégral

Problème I. Connoissant un prêt p dont on laisse accumuler les intérêts, & les intérêts des intérêts, trouver ce qui est dû au bout d’un tems donné.
1[3] SOit b l’intérêt que rapporte un certain fonds a,1 p l’argent qu’on prête actuellement, & r l’argent qui sera dû au bout de tel nombre d’années qu’on voudra, y compris le capital, les intérêts, & les intérêts des intérêts.
2A la fin de la première année l’on aura r = p + (bp/a) = (ap + bp)/a. Si l’on veut attendre deux ans, (ap + bp)/a devient capital pendant la seconde année, à la fin de laquelle l’on aura r = (ap + bp)/a + (abp + bbp)/aa = (aap + 2abp + bbp)/aa. Si l’on veut attendre trois ans, (aap + 2abp + bbp)/aa devient capital pendant la troisieme année, à la fin de laquelle l’on aura r = (aap + 2abp + bbp)/aa + (aabp + 2abbp + b3p)/a3 = (a3p + 3aabp + 3abbp + b3p)/a3 = p × (a3 + 3aab + 3aab + b3)/a3, & ainsi des autres.
Règle.
3Ce qui montre que pour avoir la somme r qui sera due au bout de tel nombre d’années qu’on voudra, il faut multiplier la somme prêtée p par une puissance de a + b (denier de l’intérêt avec l’intérêt) d’autant de degrés qu’il y a d’années à attendre, & diviser le produit par une semblable puissance du denier de l’intérêt simple a.
Exemple.
4Soit la somme prêtée p = 100, le denier de l’intérêt a = 20, & l’intérêt b = 1, & l’on demande ce qui sera dû au bout de quatre ans.
5Faites la quatrieme puissance de a + b = 21, qui est 194481 ;2 multipliez-la par p = 100, vous aurez 19448100 ; divisez ce produit par 160000, quatrieme puissance de a = 20, le quotient 121 liv. 11 s. 0 d. est ce qui sera dû à la fin de la quatrieme année, y compris le capital, les intérêts, & les intérêts des intérêts.
Autre exemple en se servant des Logarithmes.
6Soit comme ci-devant la somme prêtée p = 100, le denier de l’intérêt a = 18, & l’intérêt b = 1 ; & l’on demande ce qui sera dû au bout de 15 ans.
7Prenez le logarithme de a + b = 19 qui est 12 787 536 ; multipliez-le par 15, vous aurez 191813040, qui est le logarithme de la quinzieme puissance de 19, auquel vous ajouterez le logarithme de la somme prêtée 100, qui est 20000000, vous aurez 211813040 : prenez le logarithme de a = 18, qui est 12 552 725 ; multipliez-le aussi par 15 pour avoir 188290875 ; ôtez ce dernier produit du premier 211813040, il restera 23522 165, qui répond à 225(12/1000), c’est-à-dire, à 225 liv. 0s. 3 d. qui est la somme qui sera due au bout de quinze ans ; & ainsi des autres.
8C’est par ce moyen que la premiere Table a été calculée ; elle montre ce qui est dû au bout de tel nombre d’années qu’on veut, qui n’excede pas cinquante ans, pour un prêt de 100 livres, les intérêts étant comptés sur le pied des deniers 20, 18, 16, &c. Ainsi celui qui prête 100 livres, & qui ne reçoit rien pendant dix, ans, il lui est dû à la fin de ce tems 162 liv. 17 s. 9 d. si les intérêts sont comptés sur le pied du denier 20 ; & il lui seroit dû 183 liv. 7 s. 2 d. si les intérêts étoient comptés sur le pied du denier 16, & ainsi des autres.
9Ayant cette Table dont le prêt est de 100 liv. pour tous les différens deniers d’intérêt, il sera aisé par une simple Regle de trois, de trouver l’augmentation que doit avoir reçu telle autre, somme qu’on voudra, & après tel tems qu’on voudra qui n’excédera pas cinquante ans.
Exemple.
10L’on demande quelle augmentation aura reçu la somme 764 livres au bout de huit ans, par les intérêts, & les intérêts des intérêts, en les comptant sur le pied du denier 16. Cherchez dans la premiere Table à la colonne du denier 16, ce que 100 livres sont devenues au bout de huit ans, vous trouverez 162 liv. 8 s. 6 d. Dites alors,
11Si 100 livres deviennent 162 liv. 8 s. 6 d.
12Que deviendront 764 livres.
13Faisant la Régle de trois, vous trouverez qu’au bout des huit ans les 764 livres feront devenues 1240 liv. 18 s. 7d.
14Quoique la Table ne soit calculée que jusqu’a cinquante ans, il sera aisé par son moyen de trouver ce que le prêt de 100 livres sera devenu après tel autre nombre d’années qu’on voudra.
15Qu’il faille, par exemple, trouver ce que 100 livres feront devenues au bout de 73 ans, les intérêts étant comptés selon le denier 20.
16Prenez dans la Table deux nombres d’années, dont la somme fasse 73, par exemple, 40 & 33. Prenez dans la colonne du denier 20 les nombres correspondants à 40 ans & à 33 ans, qui sont 704 liv. 0 s. 0 d. & 500 liv. 6 s. 5 d. multipliez-les entre’ux, & divisez le produit par 100, le quotient 3522 liv. 5 s. 2 d. est ce que 100 livres feront devenues au bout de 73 ans.
17Ceux qui connoissent les propriétés des progressions, sentiront aisément la raison de cette méthode, lorsqu’ils feront attention que les nombres de chaque colonne sont en progression géométrique selon les rapports de 21 à 20, ou de 19 à 18, ou de 17 à 16, &c. ayant toutes le nombre 100 pour premier terme.
Problème II. Trouver la somme p qu’il faut prêter actuellement, afin que le capital avec les intérêts, & les intérêts des intérêts, fassent la somme r au bout d’un tems donné.
18Soit comme ci-devant, a le denier de l’intérêt, b l’intérêt, p le prêt, & r la somme qui sera due au bout du tems donné.
19L’on n’a qu’à prendre les formules du Problême précédent, supposer r connu, & p inconnu, & au lieu de r = (ap + bp)/a ou r = (aap + 2abp + bbp)/aa, ou r = (a3p + 3aabp + 3abbp + b3p)/a3, &c. l’on aura p = ar/(a + b), ou p = aar/(aa + 2ab + bb), ou p = a3r/(a3 + 3aab + 3abb + b3), &c.
Règle.
20Ce qui montre que pour connoître ce qu’on doit prêter actuellement pour qu’il soit dû r à la fin de tel nombre d’années qu’on voudra, il faut multiplier r qu’on veut recevoir au bout du tems donné, par une puissance du denier de l’intérêt a, d’autant de degrés qu’il y a d’années à attendre, & diviser le produit par une semblable puissance de a + b (denier de l’intérêt avec l’intérêt).
Exemple.
21Soit la somme qu’on veut recevoir au bout du tems donné, r = 100 livres, le denier de l’intérêt a = 18, & son intérêt b = 1. On demande ce qu’il faut prêter actuellement pour qu’il soit dû 100 livres au bout de cinq ans.
22Faites la cinquieme puissance de a = 18, qui est 1889568 ; multipliez-la par r = 100, somme qu’on veut recevoir au bout de cinq ans. ; divisez-en le produit 188956800 par la cinquième puissance de a + b = 19, qui est 2476099 ; vous aurez pour quotient 76 liv. 6 s. 3 d. qui est ce qu’il faut prêter actuellement, afin que le capital avec les intérêts, & les intérêts des intérêts, fassent 100 livres au bout des cinq ans.
Opération par les Logarithmes.
23Prenez le Logarithme de a = 18, qui est 12552725 ; multipliez – le par 5 pour avoir 62763625, logarithme de la cinquieme puissance de 18 ; ajoutez - y le logarithme de r = 100, qui est 20000000, vous aurez 82763625 ; prenez le logarithme de a + b = 19, qui est 12787536 ; multipliez-le aussi par 5, vous aurez 63937680 pour le logarithme de la cinquieme puissance de 19 ; ôtez ce dernier produit du premier, le reste sera 18 825 945, qui est le logarithme de 76(312/1000) = 76 liv. 6 s. 3 d. comme auparavant.
24C’est par ce moyen qu’on a calculé la seconde Table ; elle montre ce qu’il faut prêter actuellement afin qu’il soit dû 100 livres au bout de tel nombre d’années qu’on voudra, qui n’excédera pas 100 ans, les intérêts étant comptés sur le pied du denier 20, 18, ou 16. Ainsi pour qu’il soit dû 100 livres au bout de quatre ans, il faut prêter actuellement 82 liv. 5 s 5 d. si on compte les intérêts sur le pied du denier 20 ; il faut prêter 80 liv. 11 f. 1 d. si on les compte selon le denier 18 ; & 78 liv. 9 s. 4 d. si on les compte selon le denier 16, &c.
Remarque.
25L’on voit par cette Table l’erreur dans laquelle tombent la plûpart de ceux qui empruntent. Qu’une personne aille porter de l’argent à un Banquier, & qu’elle demande combien il faut qu’elle donne pour avoir un Billet de 100 livres, payable dans un an, les intérêts sur le pied du denier 20 : le Banquier répond qu’il lui faut 95 livres 5 au lieu qu’on voit par la secondé Table, qu’il devroit demander 95 livres 4 s. 9 d. ce qui fait que le Banquier paye les intérêts sur le pied du denier 19, au lieu du denier 20, selon lequel il compte les payer.
26On m’objectera que c’est un usage reçu parmi les Financiers, Banquiers, &c. & que ce qu’ils perdent d’un côté en empruntant de cette maniere, ils le regagnent d’un autre en prêtant de même. Cela n’en est pas moins un usage établi par l’ignorance ou le manque d’attention. L’intention du Banquier est d’emprunter sur le pied du denier 20 ; car si on lui porte 100 livres, & qu’on lui demande un billet du capital avec les intérêts ensemble, payable dans un an, le Banquier fait le billet de 105 livres ; & si on lui demandoit de compter les intérêts sur le pied du denier 19, il ne le seroit pas. C’est donc un usage ridicule & mal fondé, puisqu’il fait payer les intérêts sur le pied du denier 19, lorsqu’on demande que le billet soit de 100 livres, ou d’un nombre de fois 100 livres ; & que dans tout autre cas il ne les fait payer que sur le pied du denier 20.
Problème III. Connoissant une Rente r qu’on veut recevoir à la fin de chaque année pendant un tems donné ; trouver la somme p qu’il faut prêter actuellement.
27On vient de voir au Problème II. que pour recevoir r au bout d’un an, il falloit donner actuellement ar/(a + b) ; que pour recevoir r au bout de deux ans, il falloit donner actuellement aar/(aa + 2ab + bb) ; que pour recevoir r au bout de trois ans, il falloit prêter actuellement a3r/(a3 + 3aab + 3abb + b3). Celui qui veut recevoir r à la fin de chaque année pendant quelque tems, doit donc fournir autant, des prêts ci-dessus. Ainsi celui qui veut recevoir r pendant deux ans, doit fournir les deux premiers prêts ar/(a + b) & aar/(aa + 2ab + bb) ; celui qui veut recevoir r pendant trois ans, doit fournir les trois premiers prêts ar/(a + b), aar/(aa + 2ab + bb) & a3r/(a3 + 3aab + 3abb + b3), &c. Si on fait les additions des prêts ci-dessus, c’est-à-dire, des deux premiers, des trois premiers, des quatre premiers, &c. après avoir fait les réductions nécessaires, on aura p = ar/(a + b) pour recevoir r une fois ; p = (2aar + abr)/(aa + 2ab + bb) pour recevoir r deux fois ; p = (3a3r + 3aabr + abbr)/(a3 + 3aab + 3abb + b3) pour recevoir r trois fois, &c. Or qu’on décompose un de ces résultats, par exemple, le dernier, p = (3a3r + 3aabr + abbr)/(a3 + 3aab + 3abb + b3) ; on aura p = ar × (3aa + 3ab + bb)/(a3 + 3aab + 3abb + b3) : & l’on remarquera que le numérateur 3aa + 3ab + bb de la fraction qui multiplie ar, est le quotient qui vient en divisant par b la différence 3aab + 3abb + b3, des troisiemes puissances de a & a + b ; si c’étoit pour quatre ans, ce seroit la différence des quatriemes puissances de a & a + b ; si c’est pour deux ans, c’est la différence des secondes puissances de a & a + b, & ainsi des autres.
Règle.
28Ce qui montre que pour trouver ce qu’on doit prêter actuellement pour recevoir r pendant un nombre d’années quelconques, il faut élever a (denier de l’intérêt) & a + b (denier de l’intérêt avec l’intérêt) à autant de degrés qu’il y a d’années ; ôter la puissance du denier de l’intérêt simple a, de celle du denier de L’intérêt avec l’intérêt a +b, & diviser le reste par l’intérêt b ; multiplier le quotient par ar produit du denier de l’intérêt par la somme qu’on veut recevoir tous les ans, & diviser le produit par la puissance de a + b, le quotient sera ce qu’on doit prêter pour recevoir r pendant le nombre d’années donné.
Exemple.
29Soit la somme qu’on veut recevoir par an r = 100, le denier de l’intérêt a = 16, & l’intérêt b = 1 ; & l’on demande ce qu’il faut prêter pour recevoir 100 livres par an, pendant quatre ans.
30Faites les quatriemes puissances de a = 16 & de a + b = 17, qui sont 65536 & 83521 ; ôtez la premiere de la seconde pour avoir le reste 17985, qu’il faut diviser par l’intérêt b ; mais parce que b = 1, le reste 17985 est lui-même le quotient : il faut le multiplier par ar = 1600, produit du denier de l’intérêt 16 par la somme 100, qu’on veut recevoir annuellement ; on aura pour produit 28776000, que l’on divisera par 83521, quatrieme puissance de a + b = 17 ; le quotient 344 liv. 10 s. 9 d. est ce qu’on doit prêter actuellement pour recevoir 100 livres par an pendant les quatre années.
Autre Exemple.
31Soit la somme qu’on veut recevoir par an r = 100000 livres, le denier de l’intérêt a = 100, & l’intérêt b=7 ; & l’on demande ce qu’il faut prêter pour recevoir 100000 livres par an pendant trois ans.
32Faites les troisiemes puissances de a = 100, & de a + b = 107, vous aurez a3 = 1000000, &
33: ôtez la premiere 1000000 de la seconde 1225043, pour avoir le reste 225043, que vous diviserez par 7 = b ; le quotient sera 32149, que vous multiplierez par ar = 10000000 ; & vous diviserez le produit 3214590000000 par 1 225 043, troisieme puissance de a + b = 107 ; le quotient 262431, est ce qu’il faut prêter actuellement pour recevoir 100000 livres par an pendant les trois années, les intérêts étant comptés à 7 pour 100.
34On abregera de beaucoup le calcul, si l’on opere par les logarithmes : ce que j’en ai dit aux deux Problêmes précédens, suffit pour ceux qui connoissent les admirables propriétés de ces nombres ; & ce n’est pas ici le lieu de m’étendre suffisamment pour ceux qui n’en sçavent pas les usages : ceux qui voudront les connoître, pourront voir ce que j’en ai dit dans mon Traité de Trigonométrie, ou dans les autres Livres qui en traitent.
35La premiere page de la troisieme Table, montre ce qu’il faut prêter actuellement pour recevoir 100 livres par an, pendant tel nombre d’années qu’on voudra qui n’excede pas 100 ans, les intérêts étant comptés selon les trois deniers 20, 18 & 16. Ainsi celui qui veut recevoir 100 livres à la fin de chaque année pendant dix ans, doit donner actuellement 772 liv. 3 s. 5 d. si les intérêts sont comptés sur le pied du denier 20 ; il ne doit donner que 751 liv. 15 s. 5 d. si on les compte selon le denier 18 ; & 727 liv. 7 s. 3 d. si on les compte selon le denier 16.
36Il est aisé de voir que si l’on a formé la seconde Table, on peut se passer de la formule pour construire la Table dont on vient de parler. Car on n’a qu’à ajouter autant de prêts pris de suite dans la seconde Table, en partant- du premier, qu’on veut que la Rente soit payée d’années, c’est- à-dire, les deux premiers, les trois premiers, les quatre premiers, & c, & l’on aura les prêts de la premiere page de la troisieme Table.
37Les deux dernieres pages de la troisieme Table, montrent ce qu’il faut prêter actuellement pour recevoir 100000 livres par an, pendant tel tems qu’on voudra qui n’excédera pas vingt-cinq ans, & pour tel intérêt qu’on voudra depuis 4 pour 100, jusqu’à 13 pour 100, en augmentant de 1/4 en 1/4. Ainsi celui qui voudroit recevoir 100000 livres par an pendant huit ans, les intérêts étant comptés sur le pied de 6 pour 100, doit donner actuellement 620979 livres ; & il ne devroit donner que 614881, si les intérêts étoient comptés sur le pied de 6(1/4) pour 100, &c.
38Si au lieu de recevoir 100000 livres par an pendant le tems donné, on ne veut recevoir que 100 livres, il n’y a qu’à retrancher les trois derniers caracteres ; ceux qui resteront à gauche, montreront ce qu’il faut prêter actuellement, & les caracteres retranchés seront le numérateur d’une fraction de livre qui a 1000 pour dénominateur, & qu’on évaluera aisément en sols & deniers, si peu qu’on sçache faire usage des fractions.
39Si on vouloit recevoir 1000 livres par an, il ne faudroit retrancher que deux caracteres ; ceux qui resteroient à gauche, montreroient ce qu’il faudroit prêter actuellement, &c.
40On doit remarquer que cette maniere d’emprunter, donne au débiteur la facilité d’acquitter son emprunt, capital & intérêts, en un nombre de payemens égaux, un à la fin de chaque année : c’est ce qu’en Angleterre on nomme Annuités, & dont l’Etat se sert si avantageusement lorsqu’il a besoin de faire des emprunts considérables.
41Les deux dernieres pages de cette troisieme Table, m’ont été communiquées par une de ces personnes qui ont autant de plaisir à voir les Ouvrages des autres complets & intéressans, que les leurs propres ; je crois qu’on sera bien aise de les trouver ici : il arrivera peut-être un jour qu’à l’imitation de nos voisins, on pourra faire usage en France des Annuités. Des Tables calculées pour cet effet, ne peuvent être que d’un grand secours ; on voit & on se détermine plus aisément sur ce qu’on a à faire.
42[4] On doit donc entendre par Annuités une rente qui n’est payée que pendant un certain nombre d’années, étant telle qu’au bout de ce tems le débiteur se trouve avoir acquitté son emprunt avec les intérêts, en donnant tous les ans une même somme ; ce qui est extrêmement avantageux au commerce dans les pays où elles sont en usage. Le débiteur trouve dans cette manière d’emprunter la facilité de s’acquitter insensiblement, & sans se gêner ; si le Créancier a des dettes à payer avant l’échéance des Annuités, il s’en sert comme de l’argent, en déduisant les intérêts à proportion du tems qu’il y a à attendre jusqu’à l’échéance, comme il est juste.
43On voit donc par ce qu’on vient de dire, que les coupons de la Loterie Royale qui fut tirée au commencement de 1744, sont des Annuités avec lesquelles l’Etat acquitte l’emprunt qu’il fit par le moyen de la Loterie.
44Après le tirage de cette Loterie, les billets perdans ou leurs 10 coupons de 65 livres chacun, payables d’année en année, à commencer au premier Janvier 1745, so sont vendus au plus 398. liv. On demande quel est l’intérêt que l’acquereur retire de l’argent qu’il a employé à cet achat. Faites la Règle de trois suivante.
45Si 65 livres viennent de 398, d’où viennent 100000 livres.
46Ayant fait la Regle, l’on trouve 612308 : voyez aux dernieres pages de la Table III, quel est le prêt pour 10 ans qui approche le plus du quatrieme terme 612308 ; on trouve le plus approchant dans la colonne de 10 p0/0, mais plus petit, & beaucoup plus grand que celui de la colonne de 11 p0/0 ; d’où l’on conclut que l’acquereur retire un peu plus de 10 p0/0, de l’argent qu’il a employé à cet achat.
47Supposons qu’au mois de Janvier 1746, les huit coupons restans se vendent 320 livres ; on demande quel est l’intérêt que l’acquereur retirera de son fonds : dites comme ci-dessus :
48Si 65 viennent de 320 livres, d’où viennent 100000 livres.
49Ayant fait la Regle, l’on trouve 492308. Voyez, Table III, quel est le prêt pour huit ans qui approche le plus du quatrieme terme 492308 ; on trouvera que c’est celui de la colonne de 12 p0/0, & que l’intérêt est entre 12 p0/0 & 13 p0/0.
50Quoique les deux dernieres pages de la Table III, ne donnent les valeurs actuelles des Annuités de 100000 livres que jusqu’à 25 ans, on les trouvera aisément pour tel autre nombre d’années qu’on voudra, ainsi qu’il suit.
51Qu’il faille, par exemple, trouver la valeur actuelle ou présente d’une rente de 100000 liv par an pendant 36 ans, les intérêts étant comptés à 7(1/2) pour 100.
52Prenez deux nombres d’années à volonté, comme 16 & 20, dont la somme fasse 36 ans ; prenez dans la Table à la colonne de 7(1/2) p0/0, les nombres correspondans à 16 & à 20 ans, qui sont 914150, & 1019449 ; prenez la différence de l’un de ces deux nombres à celui qui le précédé ; on prend ici la différence du premier 914150, à celui qui le précédé 882711, cette différence est 31439. Faites une Règle de trois dont 100000 soit le premier terme ; cette différence 31439, le second ; & l’autre nombre 1019449, dont on n’a pris la différence, le troisieme : & trouvez le quatrième, ainsi qu’il suit.
53100000 : 31439 : : 1019449 : 320504.
54Ajoutez à ce quatrieme terme 320504, le nombre 914150, dont on a pris la différence avec son précédent, la somme 1234654, est ce qu’il faut prêter actuellement pour recevoir 100000 livres par an pendant 36 ans.
55Pour entendre la raison sur laquelle cette méthode est fondée l’on doit faire attention que la différence 31439, est ce qu’il faudroit prêter pour recevoir 100000 livres au bout de 16 ans, puisque le nombre 882711 livres fait recevoir 100000 livres par an pendant 15 ans, & que 914150 livres les fait recevoir pendant 16 ans : donc puisque la somme 31439 est devenue 100000 livres au bout de 16 ans, y compris le capital, les intérêts, & les intérêts des intérêts ; au bout du même tems, le quatrieme terme 320504, sera devenu 1019449 livres, qui est alors suffisant pour faire recevoir 100000 livres par an pendant 20 ans : mais au quatrieme terme 320504, on a ajouté le prêt 914150 qui fait recevoir 100000 livres par an pendant les 16 premieres années, tandis qu’on ne touche rien sur le prêt ou portion 320 504 livres, afin qu’il se trouve alors suffisant pour faire recevoir 100000 livres pendant les 20 autres années qui manquent jusqu’à 36 ans.
Problème IV. Connoissant un prêt p qu’on veut acquitter, capital & intérêt, dans un tems donné, & en autant de payemens égaux r, un à la fin de chaque année, trouver la valeur des payemens.
56Nous avons vu au troisieme Problême que pour recevoir r à la fin de chaque année pendant un tems donné, l’on avoit p = ar/(a + b), si on vouloit recevoir r une fois ; p = (2aar + abr)/(aa + 2ab + bb), si on vouloit recevoir r deux fois ; p = (3a3r + 3aabr + abbr)/(a3 + 3aab + 3abb + b3), si on vouloit recevoir r trois fois, &c. Là on connoissoit la valeur des payemens égaux r, & l’on cherchoit le prêt p qui devoir les procurer ; ici on connoît le prêt p, & on demande la valeur des payemens égaux r. En inversant les formules précédentes, l’on aura r = (ap + bp)/a pour payer en un seul payement ; r = (aap + 2abp + bbp)/(2aa + ab), pour payer en deux payemens égaux ; r = (a3p + 3aabp + 3abbp + b3p)/(3a3 + 3aab + abb) pour payer en trois payemens égaux, &c. Décomposant une de ces valeurs, par exemple, la derniere, l’on a r = p/a × (a3 + 3aab + 3abb + b3)/(3aa + 3ab + bb).
Règle.
57Ce qui montre que pour avoir la valeur des payemens, il faut élever le denier de l’intérêt a, & le denier de l’intérêt avec l’intérêt a + b, à autant de degrés qu’il doit y avoir de payemens ; multiplier le prêt p par la puissance du denier de l’intérêt avec l’intérêt a + b, & diviser ce produit par celui qu’on fera en multipliant le denier de l’intérêt a par le quotient qu’on a en divisant par l’intérêt b la différence des puissances de a & de a + b. Car on doit remarquer, comme ci-devant, que le dénominateur 3aa + 3ab + bb de la derniere fraction, est le quotient que donne la différence 3 aab + 3 abb + b3 des troisiemes puissances de a & de a + b, en la divisant par b.
Exemple.
58Soit le denier de l’intérêt a = 20, l’intérêt b = 1, le prêt p = 100 liv. ; & l’on veut payer intérêt & capital en quatre payemens égaux.
59Faites les quatrièmes puissances de a = 20, & de a + b = 21 ; vous aurez
60= 194481 : multipliez cette derniere puissance par le prêt p = 100, pour avoir le dividende 19448100 ; ôtez 160000 de 194481, pour avoir le reste 34481, qu’il faut diviser par l’intérêt, mais parce que b = 1 le reste 34481 est lui-même le quotient : multipliez-le par a = 20 ; le produit 689620, est le diviseur par lequel divisant le produit ci-dessus 19448100, l’on aura pour quotient 28 liv. 4 s. 0 d. qui est la valeur de chacun des quatre payemens égaux.
61C’est par ce principe, qu’on a calculé la quatrieme Table ; elle montre la valeur des payemens égaux selon le nombre qu’il doit y en avoir pour acquitter un prêt de 100 livres. Ainsi celui qui prête 100 livres, & qui veut en être payé capital & intérêt en cinq payemens égaux, doit recevoir 23 liv. 2 s. 0 d. à la fin de chaque année, si les intérêts sont comptés sur le pied du denier 20 ; s’il vouloit être payé en dix payemens égaux, les intérêts sur le pied du denier 16, il devroit recevoir à la fin de chaque année 13 liv. 15 s. 0 d. & ainsi des autres.
62On trouve dans la Table tel nombre de payemens égaux qu’on veut, depuis 1 jusqu’à 50, d’année en année, après quoi ils ne sont plus que de cinq en cinq ans jusqu’à 100 ans ; ceux qui voudront les avoir d’année en année, il leur sera facile par le moyen des différences.
63Les personnes qui ont de la peine à saisir le vrai d’un principe, diront, suivant l’exemple ci-dessus, que celui qui auroit prêté 100 livres, ne se trouveroit que 12 livres 16 s. de bénéfice au bout des quatre ans, n’ayant reçu que quatre fois 28 liv. 4 s. & que 100 livres au bout de quatre ans, devroient avoir rapporté 20 livres. Mais qu’on fasse attention que le prêteur reçoit une partie de son capital à la fin de la premiere année, & que le débiteur ne doit plus payer aucun intérêt pour cette partie pendant les trois autres années. Il en est de même des parties du capital que le prêteur reçoit à la fin de la seconde & de la troisieme année. Le détail suivant le fera peut-être mieux entendre.

64Si on veut acquitter une autre somme quelconque, intérêts & capital, en un nombre de payemens égaux, il sera aisé d’en trouver la valeur par une simple Regle de trois, dès qu’on connoîtra la somme prêtée, le denier de l’intérêt, & le nombre de payemens égaux qu’on veut faire.
Exemple.
65Supposons qu’une personne prête 3660 liv. à condition d’en être payée, intérêts & capital, en huit ans, & en huit payemens égaux, les intérêts sur le pied du denier 16. On trouve, Table IV. que celui qui prête 100 livres pour en être payé en huit payemens égaux, les intérêts sur le pied du denier 16, doit recevoir 16 liv. 5s. 3 d. par an. On dira donc :
66Si 100 livres donnent 16 liv. 5 s. 3 d. combien donneront 3660 livres.
67Faisant la Regle de trois, on trouvera 595 liv. 4f. 2 d. pour la valeur de chacun des huit payemens.
68Si le prêteur vouloit toujours être payé en huit ans, mais en seize payemens égaux, un tous les six mois ; il ne faudroit pas lui donner par payement 297 liv. 12 s. 1 d. moitié de 595 liv. 4 s. 2 d. car on lui rembourseroit au milieu de l’année une partie du capital dont on lui payeroit l’intérêt comme si elle restoit toute l’année à la disposition du débiteur. Celui-là demande à être payé en seize payemens égaux, mais en partant du denier 32, qui est le même pour six mois que le denier 16 par an. En ce cas-là il ne faudroit lui donner que 294 liv. 3 s. 5 d. tous les six mois, ainsi qu’on le trouve par une Règle de trois, comme ci-dessus, mais en partant du denier 32.
69On peut aussi se servir de la même Table IV. au lieu de la précédente, pour trouver l’intérêt que rapporte l’argent qu’on employé à l’achat des Annuités. Car si on suppose, comme ci-devant, qu’au mois de Janvier 1746, les huit coupons restans ne se vendent que 320 livres, on dira :
70Si 320 livres donnent 65 livres, combien donneront 100 livres.
71Ayant fait la Règle, on trouve 20 liv. 6s. 3 d. voyez dans quelle colonne vous trouverez à la huitieme ligne 20 liv. 6 s . 3 d. ou environ, le plus approchant est 20 liv. 9 s. 8 d. qu’on trouve dans la colonne du denier 8, qui étant un peu plus grand, l’on en conclura que l’intérêt n’est pas tout-à-fait selon le denier 8, mais fort près. On l’aura plus exactement, si on veut le chercher par les différences des valeurs du denier 10, à celles du denier 8.
72Les Annuités sont ordinairement annoncées, en disant qu’on donne tant pour 100 pendant un certain tems, après lequel le débiteur & le créancier doivent rester quittes, tant du capital que des intérêts. Il y a donc toujours trois choses à considerer : 1°. le tems, 2°. ce qu’on veut donner pour 100 par an, 3°. l’intérêt. Deux de ces choses étant données, on trouvera toujours la troisieme par la Table IV, & sans faire aucun calcul.
73Si on connoît le denier de l’intérêt & le tems, on trouvera ce qu’on doit donner p0/0 par an dans la colonne du denier de l’intérêt, vis-à-vis le nombre des années proposées : ainsi si on vouloit faire des Annuités pour 10 ans, en comptant les intérêts sur le pied du denier 16, on devroit donner par an 13 liv. 15 s. p0/0 ; si on vouloit les faire pour 15 ans, on devroit donner 10 liv. 9 s. 4 d.p0/0.
74Si on connoît le denier de l’intérêt, & ce qu’on veut donner pour 100 par an, on trouvera le tems pendant lequel on doit les payer, en cherchant dans la colonne du denier de l’intérêt proposé, ce qu’on veut donner pour 100 : on aura dans la colonne à gauche les années qu’on demande. Ainsi si en comptant les intérêts sur le pied du denier 18, on vouloit donner 10 pour 100 par an, on trouvera qu’on doit les payer pendant 15 ans. Si on ne vouloit donner que 8 pour 100 par an, en comptant les intérêts sur le pied du denier 16, on trouvera qu’on doit les payer pendant 25 ans & environ 22 jours, à cause des deux deniers qu’il y a de plus dans la colonne du denier 16, vis-à-vis 25 ans.
75Et enfin si on connoît ce qu’on donne pour 100, & le tems pendant lequel on veut payer les Annuités, on trouvera le denier de l’intérêt, en cherchant ce qu’on donne pour. 100 dans la ligne du nombre des années pendant les quelles on veut payer la Rente : la colonne où l’on trouvera ce qu’on donne pour 100, ou le plus approchant, montrera par le nombre qui est en tête, le denier de l’intérêt. Ainsi si on vouloit donner 7(1/2) pour 100 pendant 25 ans ; cherchez dans la ligne de 25 ans, en passant de colonne en colonne, le nombre 7 liv. 10 s. 0 d. vous trouverez que les intérêts sont comptés sur le pied du denier 18. Si on vouloit donner 10 pour 100 pendant 20 ans ; cherchez dans la ligne de 20 ans le nombre 10 liv. 0 s. 0 d. vous trouverez 9 liv. 10 s. 10 d. dans la colonne du denier 14, & 10 liv. 8 s. 8 d. dans la colonne du denier 12. Or comme le nombre proposé 10 liv. 0 s. 0 d. tient à peu près le milieu entre les deux, on en conclura que les intérêts sont sur le pied du denier 13 ou environ.
76La maniere d’emprunter ensorte qu’on s’acquitte en payant une même somme tous les ans pendant un certain tems, tant pour le capital que pour les intérêts, est sans contredit celle qui doit être préférée à tous égards, & les Annuités remplissent parfaitement bien cette idée ; mais la manière de s’acquitter en payant tous les ans une même somme, peut être variée de plusieurs façons. En voici une qu’on peut aisément employer lorsqu’on a de grands emprunts à faire ; elle pourra servir à faire naître d’autres idées.
Maniere de faire de grands Emprunts, plus commode que celles dont on se sert.
77[5] Quand des États, des Compagnies, des Communautés, & même de riches Particuliers, sont obligés de faire des Emprunts considérables, ils devroient toujours y destiner une partie de leur revenu, qui fût au moins le double de l’intérêt de l’emprunt, dont une partie seroit employée à payer les intérêts annuels, & l’autre à rembourser tous les ans une partie des capitaux, ainsi qu’on le pratique aux emprunts sur les Postes & à celui de l’Hôtel-de-Ville ; mais on peut les disposer d’une manière plus commode pour les créanciers, sans être incommode pour les débiteurs.
78Supposons un emprunt de 6000000 livres, qu’on divisera en 12000 Actions ou Billets de 500 livres chacun, & qu’on veuille payer intérêt & capital en dix ans, & en dix payemens égaux, les intérêts sur le pied du denier 20 : on trouvera ce qu’on doit payer par an par la Table IV, en disant :
79Si 100 livres donnent 12 liv. 19 s. 0 d. combien donneront 6000000 livrés.
80La Règle étant faite, l’on trouvera 777000 livres.
81Il est aisé de voir que si on ne vouloit pas fournir une somme si considérable par an, il faudroit prendre un plus long terme. Si on ne vouloit, par exemple, fournir tous les ans que le double de l’intérêt, il faudroit 14 ans & un peu plus, ainsi qu’on peut le voir par la quatrieme Table, ou par la troisieme. Mais nous supposons ici qu’on veut acquitter cet emprunt avec ses intérêts dans l’espace de dix ans ; & on vient de voir qu’il faut fournir 777000 livres par an : en voici la distribution.
82Les intérêts des 6000000 liv. sont 300000 liv. qui étant ôtés des 777000 livres que le débiteur fournit à la fin de la premiere année, reste 477000 livres qui fournissent dequoi rembourser 954 billets. Le débiteur ne doit plus que 11046 billets, dont les intérêts dûs à la fin de la seconde année, sont 276150, qui étant ôtés des 777000 livres que le débiteur fournit à la fin de cette seconde année, reste 500850, qui fournissent presque dequoi rembourser 1002 billets, & ainsi des autres années, comme on le voit à la premiere partie de la Table V.
83Par ce moyen, l’emprunt peut être fait par classes. Il n’y auroit que 954 billets pour être remboursés à la fin de la premiere année ; il y en auroit 1002 pour être remboursés à la fin de la seconde année, 1052 pour être remboursés à la fin de la troisieme année, & ainsi des autres, comme on le voit par la Table. Cette manière d’emprunter, quelque nombre d’années qu’on prenne pour faire tous les payemens, seroit plus commode pour le Public. Chaque particulier choisiroit la classe qui lui feroit rembourser son fonds dans le tems où il compte en avoir besoin pour d’autres emplois ; les uns en ayant besoin bien-tôt, & les autres pouvant le placer pour plus de tems. Ou bien l’on pourroit ne pas fixer avant l’emprunt les Actions de chaque classe ; mais dès que l’emprunt seroit fini, on mettroit tous les numéros des billets dans une roue de Loterie, & les 954 premiers numéros qu’on tireroit de la roue seroient remboursés à la fin de la premiere année ; les 1002 numéros suivans seroient remboursés à la fin de la seconde année ; les 1052 numéros suivans seroient remboursés à la fin de la troisieme année, &c.
84Si on trouve que cette maniere divise trop les fonds des créanciers, on pourroit convenir qu’on ne tireroit qu’un seul numéro de la roue ; celui-là deviendroit le premier, & seroient, lui & les 953 numéros suivans avec ordre, remboursés à la fin de la premiere année ; les 1002 numéros suivans seroient remboursés à la fin de la féconde année ; & ainsi de suite. Et lorsqu’on seroit parvenu au dernier, on continueroit par les premiers 1, 2, 3, 4, &c. jusqu’au précédent de celui qu’on auroit tiré de la roue, qui seroit le dernier remboursé.
85La féconde partie de la même Table V, montre la distribution du même emprunt, en comptant les intérêts sur le pied du denier 18 ; & la troisieme partie pour le denier 16.
86On pourrait encore emprunter, à condition de payer le capital avec les intérêts, & les intérêts des intérêts, de chaque Billet ou Action au bout d’un certain tems, comme un an, deux ans, trois ans, quatre ans, &c. le débiteur fournissant tous les ans une même somme, ou à peu près, pour les billets qu’il faudroit rembourser à la fin de chaque année avec leurs intérêts, & intérêts des intérêts. Mais cette manière d’emprunter ne seroit pas attrayante ; ceux qui prêtent, n’aiment pas à rester si long-tems sans toucher capital ou intérêts.
87Les quatre premières Tables ont encore plusieurs autres usages que nous omettons, étant plus curieux qu’utiles, si ce n’est ceux dont nous aurons besoin dans la suite pour la détermination des Rentes viageres.
Notes de fin
1 Le fonds a qui rapporte la rente b, sera nommé dans la suite le denier de l’intérêt, & b l’intérêt, quels que soient les nombres exprimés par a & b. Ainsi lorsqu’on parlera d’un intérêt à 5 pour 100, a vaudra 100, & b vaudra 5 ; ou bien a vaudra 20, & b vaudra 1. S’il étoit question d’un intérêt à 6 pour 100, a vaudroit 100, & b vaudroit 6, ou bien a vaudroit 50, & b vaudrait 3.
2 L’on entend par puissances d’un nombre quelconque les différens produits qu’on fait en multipliant ce nombre par lui-même, 0 fois, 1 fois, 2 fois, 3 fois, &c. Ainsi 21, par exemple, est lui-même sa premiere puissance ; si on le multiplie par lui-même une fois, le produit 441 est la seconde puissance de 21 ; si on multiplie le produit 441 par 21, le produit qui en résulte 9261, est la troisieme puissance de 21 ; multipliant 9261 par 21, le produit 194481 est la quatrième puissance de 21, & ainsi des autres.
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